方程式が可解かどうかは解の集合の範囲で定まるが、一般に、「複素数全体」としておけ
ば、解の集合に惑わされずに済むことはよく知られている。
この意味で、１次方程式 ａｘ＋ｂ＝０ は、常に、解 ｘ＝−ｂ/ａ を持つ。
２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ についても、解の公式
を用いれば、必ず、複素数の範囲に解を持つことが分かる。
解の公式を使って２次方程式を解く場合、文字 ａ、ｂ、ｃ に数値を当てはめて解かせるに
は解かせるのだが
（１） まず、判別式 Ｄ＝ｂ2−４ａｃ を計算させ、その後、徐に
（２）
を求め、その結果から、（３） 解 ｘ を、 （−ｂ±
）/２ａ で導出する。という流れで、指導する方がいられるかもしれない。
（１）により、一番煩わしい計算 ｂ2−４ａｃ を手早く済ませ、さらに、実数解を持つかどうか
も瞬時に分かるこの計算手順は、私自身、一番好ましい方法だと常々思っていた。
この手順はガロア理論と大いに関係があるということが、次の書籍に示されている。
小島寛之 著 天才ガロアの発想力 （技術評論社）
２次方程式 ａｘ2＋ｂｘ＋ｃ＝０ の２つの解を、α、β とおくと、
解と係数の関係から、 α＋β＝−ｂ/ａ 、 αβ＝ｃ/ａ が成り立つ。
このとき、 判別式 Ｄ＝ａ2（α−β）2 より、 α−β＝±
/ａ なので、２α＝−ｂ/ａ±
/ａ＝（−ｂ±）/ａより、 α＝（−ｂ±
）/２ａ と解の公式が導かれる。解の公式があるかどうかは、解と係数の関係と判別式が大いに関係していることが伺える。
（追記） 令和８年６月３日付け
次の東北大学 後期理系（２００９）の問題は、３次方程式の解に関わる問題である。
問題 実数の間の等式
＝２ ・・・ (*) を以下の手順に従って示せ。
（１） 係数が整数であるｘの３次方程式で、ｘ＝
が解になるものを１つ求めよ。
（２） （１）で求めた３次方程式を解くことにより、等式(*)を証明せよ。
（解）（１） ｘ3＝（
）3＝５
＋７−（５＋７）−３（）＝１４−３ｘよって、求める３次方程式は、 ｘ3＋３ｘ−１４＝０
（２） （１）より、（ｘ−２）（ｘ2＋２ｘ＋７）＝０ で、ｘ2＋２ｘ＋７＝０ は実数解を持たないから、
ｘ＝２ で、
＝２ が成り立つ。 （終）以下、工事中