当ＨＰの読者のＫ．Ｓ．さんより、平成２３年１０月１７日付けで標記話題をメールで頂いた。
ちょうど自宅のメインパソコンがクラッシュし、その修復を急いでいたので、アップするのが
遅れてしまった。この場を借りて、Ｋ．Ｓ．さんにお詫びします。
「１＋１＝２」である必然性はあるのか？
以下の計算方法だと、「１＋１＝３」（(＊)で、α＝１）でもよいことになる。２項演算として、
トロピカル幾何というのがあるが、以下では、交換律、結合律、分配律が、成り立つ演算に
ついて考えることにする。
複素数体上で、２項演算を
Ｃ×Ｃ：（ｚ1，ｚ2） → ｚ3∈Ｃ （ただし、α∈Ｃ）
（＊） ｚ1
ｚ2＝ｚ1＋ｚ2＋α 、 ｚ1
ｚ2＝（ｚ1＋α）（ｚ2＋α）−αと定義した場合、
和
の単位元は、任意の ｚ1∈Ｃ に対して、ｚ1 ｚ2＝ｚ1 より、ｚ1＋ｚ2＋α＝ｚ1つまり、ｚ2＝−α とすればよい。
積
の単位元は、任意の ｚ1∈Ｃ に対して、ｚ1 ｚ2＝ｚ1 より、（ｚ1＋α）（ｚ2＋α）−α＝ｚ1つまり、ｚ2＝１−α とすればよい。
交換律は、明らかに成り立つ。次に、結合律が、成り立つことを示す。
ｚ1
（ｚ2ｚ3）＝ｚ1 （ｚ2＋ｚ3＋α）＝ｚ1＋ｚ2＋ｚ3＋２α（ｚ1
ｚ2）ｚ3＝ （ｚ1＋ ｚ2＋α）ｚ3＝ｚ1＋ｚ2＋ｚ3＋２αよって、ｚ1
（ｚ2ｚ3）＝（ｚ1 ｚ2）ｚ3ｚ1
（ｚ2ｚ3）＝ｚ1 （（ｚ2＋α）（ｚ3＋α）−α）＝（ｚ1＋α）（（ｚ2＋α）（ｚ3＋α）−α＋α）−α
＝（ｚ1＋α）（ｚ2＋α）（ｚ3＋α）−α
（ｚ1
ｚ2）ｚ3＝ （（ｚ1＋α）（ｚ2＋α）−α）ｚ3＝（（ｚ1＋α）（ｚ2＋α）−α＋α）（ｚ3＋α）−α
＝（ｚ1＋α）（ｚ2＋α）（ｚ3＋α）−α
よって、 ｚ1
（ｚ2ｚ3）＝（ｚ1 ｚ2）ｚ3同様にして、分配律が成り立つことも示される。
ｚ1
（ｚ2ｚ3）＝ｚ1 （ｚ2＋ｚ3＋α）＝（ｚ1＋α）（ｚ2＋ｚ3＋２α）−α
（ｚ1
ｚ2）（ｚ1ｚ3）＝（（ｚ1＋α）（ｚ2＋α）−α）（（ｚ1＋α）（ｚ3＋α）−α）＝（ｚ1＋α）（ｚ2＋α）−α＋（ｚ1＋α）（ｚ3＋α）−α＋α
＝（ｚ1＋α）（ｚ2＋ｚ3＋２α）−α
よって、 ｚ1
（ｚ2ｚ3）＝（ｚ1 ｚ2）（ｚ1ｚ3）次に、Ｃ×Ｃ：（ｚ1，ｚ2） → ｚ3∈Ｃ （ただし、α∈Ｃ）
（**） ｚ1
ｚ2＝ｚ1＋ｚ2 、 ｚ1 ｚ2＝ｚ1ｚ2ｅ-ｉαと定義した場合、
和
の単位元は、任意の ｚ1∈Ｃ に対して、ｚ1 ｚ2＝ｚ1 より、ｚ1＋ｚ2＝ｚ1つまり、ｚ2＝０ とすればよい。
積
の単位元は、任意の ｚ1∈Ｃ に対して、ｚ1 ｚ2＝ｚ1 より、ｚ1ｚ2ｅ-ｉα＝ｚ1つまり、ｚ2＝ｅｉα とすればよい。
交換律は、明らかに成り立つ。次に、結合律が成り立つことを示す。
和
の結合律は明らかに成り立つ。 積の結合律について、ｚ1
（ｚ2ｚ3）＝ｚ1 ｚ2ｚ3ｅ-ｉα＝ｚ1ｚ2ｚ3ｅ-2ｉα（ｚ1
ｚ2）ｚ3＝ ｚ1ｚ2ｅ-ｉαｚ3＝ｚ1ｚ2ｚ3ｅ-2ｉαよって、 ｚ1
（ｚ2ｚ3）＝（ｚ1 ｚ2）ｚ3同様にして、分配律が成り立つことも示される。
ｚ1
（ｚ2ｚ3）＝ｚ1 （ｚ2＋ｚ3）＝ｚ1（ｚ2＋ｚ3）ｅ-ｉα（ｚ1
ｚ2）（ｚ1ｚ3）＝ｚ1ｚ2ｅ-ｉα ｚ1ｚ3ｅ-ｉα＝ｚ1ｚ2ｅ-ｉα＋ｚ1ｚ3ｅ-ｉα＝ｚ1（ｚ2＋ｚ3）ｅ-ｉα
よって、 ｚ1
（ｚ2ｚ3）＝（ｚ1 ｚ2）（ｚ1ｚ3）さらに、Ｃ×Ｃ：（ｚ1，ｚ2） → ｚ3∈Ｃ （ただし、α∈Ｃ）
（***） ｚ1
ｚ2＝ｚ1~＋ｚ2~ 、 ｚ1 ｚ2＝ｚ1~ｚ2~ （ただし、ｚ~は、ｚの共役複素数）と定義した場合、
交換律、結合律、分配律は明らかに成り立つ。
（＊）は併進タイプ （**）は回転タイプ （***）は実軸対称（一般の直線に対しても可能）
その他に、これらの合成も考えられます。
（＊）のときは、不動点がなく、（**）のときは、不動点は１つ、（***）のときは、不動点は無
限にある。その他に、どのようなタイプがあるでしょう？