アーベルの総和公式 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　数学の至る所で、差分という考え方が幅を利かせている。数列においては、階差数列が
その最たるものである。分数関数の積分で多用される部分分数分解も差分の一種だろう。
２次方程式の理論で活躍する判別式（正しくは、２次式の判別式！）も差分である。

　このページで紹介するアーベルの総和公式も、差分の考え方に立脚している。

Ａｂｅｌ の総和公式

　　　　　　　

　上式を見ても、その意味が掴みきれない方は、次の模式図でご理解ください。


　　　左辺は、左図の緑色の面積、

　　　右辺は、長方形の面積から水色の面積
　　　を引いたもの

　　　と考えれば、その雰囲気は伝わってくる
　　　と思う。

　　　　このアーベルの総和公式の考え方は、
　　　問題解決によく利用される。





　問題　以下で、文字はすべて実数（ただし、Ｘ≧Ｙ≧Ｚ＞０ ）とする。
　　　　　ａＸ＋ｂＹ＋ｃＺ＞０ が成り立ち、ａＸ≦０、ａＸ＋ｂＹ≦０　ならば、ａ＋ｂ＋ｃ＞０
　　　 であることを証明せよ。

（解）　Ｐ＝ａＸ、Ｑ＝ａＸ＋ｂＹ、Ｒ＝ａＸ＋ｂＹ＋ｃＺ とおく。（← 大切なテクニック！）

　　　このとき、ａ＝Ｐ/Ｘ、ｂ＝(Ｑ−Ｐ)/Ｙ、ｃ＝(Ｒ−Ｑ)/Ｚ と書ける。

　　　よって、　ａ＋ｂ＋ｃ ＝Ｐ/Ｘ＋(Ｑ−Ｐ)/Ｙ＋(Ｒ−Ｑ)/Ｚ

　　　　　　　　　　　　　　　＝Ｐ(１/Ｘ−１/Ｙ)＋Ｑ(１/Ｙ−１/Ｚ)＋Ｒ/Ｚ

　　　　　　　　　　　　　　　＝Ｐ・(Ｙ−Ｘ)/ＸＹ＋Ｑ・(Ｚ−Ｙ)/ＹＺ＋Ｒ/Ｚ

　　　ここで、条件より、　Ｐ≦０　、Ｑ≦０　、Ｙ−Ｘ≦０、、Ｚ−Ｙ≦０　なので、

　　　　　　　　　　Ｐ・(Ｙ−Ｘ)≧０　、　Ｑ・(Ｚ−Ｙ)≧０

　　　　さらに、　Ｒ＞０　、Ｘ＞０　、Ｙ＞０　、Ｚ＞０　なので、　ａ＋ｂ＋ｃ ＞０　　（終）

（注）　アーベルの総和公式を意識すれば、次のように変形される。

　　　ａ＋ｂ＋ｃ ＝ａＸ・(１/Ｘ)＋ｂＹ・(１/Ｙ)＋ｃＺ・(１/Ｚ)

　　　　　　　　　＝ａＸ(１/Ｘ−１/Ｙ）＋(ａＸ＋ｂＹ)(１/Ｙ−１/Ｚ)＋(ａＸ＋ｂＹ＋ｃＺ)・(１/Ｚ)

　　　　　　　　　＝Ｐ(１/Ｘ−１/Ｙ)＋Ｑ(１/Ｙ−１/Ｚ)＋Ｒ/Ｚ

　　　以下は、上と同様にして証明される。

（コメント）　式変形が込み入っていそうですが、上図の差分の考え方を当てはめれば、スッ
　　　　　　キリ理解できると思います。

（参考文献：安田　亨　著　入試数学伝説の良問１００　（講談社））


（追記）　平成２１年８月３０日付け

　広島工業大学の大川研究室によれば、このアーベルの総和公式を使うと、無限級数に
関するアーベルの収束判定条件が示されるという。

定　理　　　無限級数 Σ ａ_ｎ と数列 ｛ ｂ_ｎ ｝ に対して、

（１）　部分和 ｓ_ｎ＝Σ ａ_ｋ　は有界

（２）　（ア）　ｎ → ∞　のとき、　ｂ_ｎ → ０

　 　　（イ）　Σ| ｂ_ｎ − ｂ_ｎ-1 | が収束

が成り立つとき、無限級数　Σａ_ｎｂ_ｎ　は収束する。

　証明は、大川研究室を参照。

　この定理の簡単な適用例として、次の例が直ぐ思いつく。

例　交代級数　Σ（−１/２）^ｎ　は収束することを示せ。

　（数学�Vレベルの解答）

　　　　部分和　ｓ_ｎ＝１＋（−１/２）＋（−１/２）²＋・・・＋（−１/２）^ｎ　は、

　　初項　１、公比　−１/２　、項数　ｎ＋１　の等比数列の和なので、

　　　　　　　ｓ_ｎ＝（２＋（−１/２）^ｎ）/３

　　なので、　ｎ → ∞　のとき、　ｓ_ｎ → ２/３　と収束することより、

　　交代級数　Σ（−１/２）^ｎ　は収束する。

　（アーベルの定理による解答）

　　ａ_ｎ ＝（−１）^ｎ　、 ｂ_ｎ＝（１/２）^ｎ　とすれば、

　　明らかに、部分和　ｓ_ｎ　は有界で、条件（２）を満たす。

　　よって、　Σａ_ｎｂ_ｎ＝Σ（−１/２）^ｎ　は収束する。