専門高校生向け問題集にようこそ！挑戦される方には、時の迷宮への扉が　　 開かれます。ご健闘を祈ります。

　　　　　

　専門高校の生徒にとって、大学受験そして大学入学後の学習を考えた場合、高校での授
業時数・履修科目等にかなり大きな制約があり、なかなか思うように数学の学習ひいては受
験準備が進まないというのが現状です。独学で未習の数学をやる場合もあるでしょう。その
ような場合に、どんな勉強をすればよいのか、最低限どれだけの知識が必要かなど、悩みが
多いことと思います。そうした悩みに少しでも答えるため、基本的かつ重要な内容を５５の定
石としてまとめてみました。みなさんの今後の学習の一助になれば幸いです。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　私的数学塾　塾長

≪問　　題≫

１．　次の計算をせよ。
（１）　−２²＋１　（２）　７−２×３　（３）　√（０．０４）　（４）　（１＋ｉ）²　（５）　ｌｏｇ₂８
（６）　２７^(-2/3)　（７）　５！　（８）　ｓｉｎ１５°

２．　次の計算をせよ。
（１）　４ｘ−２−[３ｘ−｛５ｘ−（ｘ−２）｝]　（２）　（ａ＋ｂ−ｃ）（ａ−ｂ−ｃ）

３．　６ｘ²−ｘ−１２　を因数分解せよ。

４．　ｘ³−２ｘ＋１　を因数分解せよ。

５．　ｘ³＋（ａ−１）ｘ²−（ａ＋２）ｘ−２ａ　を因数分解せよ。

６．　ｘ³−２ｘ²＋ａｘ＋ｂ　が　ｘ²−３ｘ＋２　で割り切れるときのａ、ｂの値を求めよ。

７．　ｘ＝１＋　のとき、ｘ³−３ｘ²＋２ｘ＋１　の値を求めよ。

８．　１/（−２）　を有理化せよ。

９．　方程式　ｘ³＋ａｘ＋ｂ＝０　の解が１と−２のとき、ａ、ｂの値を求めよ。

１０．　２次方程式　ｘ²−４ｘ＋２＝０　を解け。

１１．　次の不等式を解け。
（１）　２ｘ＋１＞４ｘ　（２）　２ｘ²−ｘ−１＞０　（３）　ｘ²＋４ｘ＋４≦０

１２．　ｘｙ＝３ｘ−２ｙ　を満たす正の整数ｘ，ｙの値の組を求めよ。

１３．　ａ＞０のとき、ａ＋１/ａの最小値を求めよ。

１４．　０、１、２、３、４　の５個の数字から異なる３個の数字を選んで一列に並べてできる３
　　　桁の整数は何個あるか。

１５．　６人を３人、３人に分ける場合の数は何通りあるか。

１６．　袋の中に１０本のくじが入っていて、そのうち当たりくじは３本である。くじを１本引い
　　　て当たりくじなら１０００円、はずれでも１００円もらえる。このとき、もらえる金額の期待
　　　値を求めよ。

１７．　袋の中に赤球２個、白球３個が入っている。この中から２個取り出すとき、２個とも同
　　　色である確率を求めよ。

１８．　１枚の硬貨を５回投げる。５回目に丁度３度目の表が出る確率を求めよ。

１９．　（ｘ²＋２/ｘ）⁸を展開したときのｘ⁷の係数を求めよ。

２０．　Ｆ（ｘ）＝２（ｘ−１）²＋１　のとき、Ｆ（０）の値を求めよ。

２１．　２次関数　ｙ＝−ｘ²＋４ｘ−３　の頂点の座標を求めよ。

２２．　放物線　ｙ＝ｘ²−ｋｘ＋ｋ　が ｘ 軸と接するときのｋの値と接点の座標を求めよ。

２３．　３点（０，２）、（−２，１６）、（１，４）を通る放物線の方程式を求めよ。

２４．　ｘ²＋ｙ²＝１　のとき、ｘ²＋２ｙ　の最大値を求めよ。

２５．　ｘ≧０、ｙ≧０、ｘ＋２ｙ≦６、２ｘ＋ｙ≦６　のとき、ｘ＋ｙ の最大値、最小値を求めよ。

２６．　直線 ｙ＝２ｘ＋３ に関して、点（−２，４）と対称な点Ｂの座標を求めよ。

２７．　円 ｘ²＋ｙ²−４ｘ＋６ｙ−３＝０ の中心と半径を求めよ。

２８．　点（−１，２）と直線 ｙ＝２ｘ−１ との距離を求めよ。

２９．　点（２，１）を通り、円 ｘ²＋ｙ²＝１ に接する直線の方程式を求めよ。

３０．　（ｌｏｇ₂３＋ｌｏｇ₄９）（ｌｏｇ₃４−ｌｏｇ₉２）　の値を求めよ。

３１．　１．５とｌｏｇ₄９の大小を比べよ。

３２．　、、 の大小を比べよ。

３３．　５35は何桁の整数か。但し、ｌｏｇ₁₀２＝０．３０１０

３４．　９^ｘ+1＋８・３^ｘ−１＝０　を解け。

３５．　ｔａｎθ＝４　のとき、ｃｏｓ２θの値を求めよ。

３６．　２ｃｏｓ²θ＝ｓｉｎθ＋２　（０°≦θ３６０°）　を解け。

３７．　ＡＢ＝４、ＡＣ＝８、∠Ａ＝６０°の△ＡＢＣにおいて、ＢＣの中点をＭ、∠Ａの２等分線
　　　とＢＣとの交点をＤとするとき、ＡＭ、ＡＤの長さを求めよ。

３８．　ａ＝（−２，３）、ｂ＝（１，−２）　とする。
（１）　ｃ＝（−４，３）　を　ｋａ＋ｍｂ　の形に表せ。
（２）　ｄ＝ｃ＋ｔｂ　のとき、｜ｄ｜の最小値を求めよ。

３９．　｜ａ｜＝１、｜ｂ｜＝３、｜ａ−ｂ｜＝　のとき、ａ、ｂ のなす角θを求めよ。

４０．　ａ＝（４，２）、ｂ＝（０，１）　とする。ａ＋ｋｂ　と ａ が垂直となるようにｋの値を求めよ。

４１．　△ＡＢＣにおいて、辺ＢＣを２：１に内分する点をＤ、ＡＤの中点をＥとする。ＡＥをＡＢ、
　　　ＡＣで表せ。

４２．　連立方程式　４ｘ−ｙ＝ｋｘ、２ｘ＋ｙ＝ｋｙ　が、ｘ＝ｙ＝０ 以外の解を持つようにｋの値を
　　　定めよ。

４３．　Ａ＝｛｛１，２｝，｛１，１｝｝　に対して、Ａ^-1、Ａ²　を求めよ。

４４．　等差数列｛ａ_ｎ｝において、ａ₁₀＝−１４、ａ₃₀＝６６　のとき、ａ₂₀ を求めよ。また、初項
　　　から第何項までの和が初めて正になるか。

４５．　Σ_ｋ=1〜ｎ ａ_ｋ＝ｎ²＋１　のとき、一般項 ａ_ｎ を求めよ。

４６．　数列　１，２，５，１４，４１，・・・　の一般項 を求めよ。

４７．　漸化式 ａ₁＝１、ａ_ｎ+1＝２ ａ_ｎ＋１　で定まる数列の一般項 ａ_ｎ を求めよ。

４８．　微分の定義を用いて、１/ｘ の導関数を求めよ。

４９．　次の関数を微分せよ。
（１）　ｙ＝（ｘ−１）（ｘ＋２）　（２）　ｙ＝（ｘ²＋１）/ｘ　（３）　ｙ＝ｓｉｎ²ｘ

５０．　ｙ＝ｘ³＋ｋｘ²＋ｘ＋２　が増加関数のとき、ｋの値の範囲を求めよ。

５１．　ｙ＝−ｘ³＋３ｘ　の極値を求めよ。

５２．　ｘ^ｎ−１　を（ｘ−１）²　で割った余りを求めよ。

５３．　次の不定積分を求めよ。
（１）　∫（３ｘ−１）（ｘ＋１）ｄｘ　（２）　∫ｃｏｓｘ ｄｘ　（３）　∫ｘｅ^-ｘ ｄｘ

５４．　Ｆ（ｘ）＝ｘ＋２∫₀¹ Ｆ（ｔ）ｄｔ　を満たす関数Ｆ（ｘ）を求めよ。

５５．　ｙ＝ｘ²−ｘ−１、ｙ＝ｘ＋２　で囲まれた部分の面積を求めよ。






≪略　　解≫

１．（１）−３　（２）　１　（３）　０．２　（４）　２ｉ　（５）　３　（６）　１/９　（７）　１２０　（８）　（−）/４

２．（１）　５ｘ　（２）　ａ²−ｂ²＋ｃ²−２ｃａ　３．（２ｘ−３）（３ｘ＋４）　４．　（ｘ−１）（ｘ²＋ｘ−１）

５．（ｘ−２）（ｘ＋１）（ｘ＋ａ）　６．　ａ＝−１、ｂ＝２　７．１＋　８．　−２−

９．ａ＝−３、ｂ＝２　１０．　２±　１１．（１）　ｘ＜１/２　（２）　ｘ＜−１/２、ｘ＞１　（３）　ｘ＝−２

１２．（ｘ，ｙ）＝（１，１）、（４，２）　１３．　２　１４．　４８個　１５．　１０通り　１６．　３７０円

１７．　２/５　１８．　３/１６　１９．　４４８　２０．　３　２１．　（２，１）

２２．　ｋ＝０　のとき、（０，０）、ｋ＝４　のとき、（２，０）　２３．　ｙ＝３ｘ²−ｘ＋２　２４．　２

２５．　最大値　４、最小値　０　２６．　（２，２）　２７．　（２，−３）　、半径４　２８．　

２９．　ｙ＝１、４ｘ−３ｙ＝５　３０．　３　３１．　１．５＜ｌｏｇ₄９　３２．　＜＜

３３．　２５桁　３４．　−２　３５．　−１５/１７　３６．０°、１８０°、２１０°、３３０°

３７．　ＡＭ＝２、ＡＤ＝８/　３８．（１）　５ａ＋６ｂ　（２）　　３９．　６０°

４０．　−１０　４１．　ＡＥ＝（１/６）ＡＢ＋（１/３）ＡＣ　４２．　２、３

４３．　Ａ^-1＝｛｛−１，２｝，｛１，−１｝｝、Ａ²＝｛｛３，４｝，｛２，３｝｝　４４．　２６、第２７項

４５．　ａ₁＝２、ｎ≧２のとき、　ａ_ｎ＝２ｎ−１　４６．　（３^ｎ-1＋１）/２　４７．　２^ｎ−１

４８．　−１/ｘ²　４９．（１）　２ｘ＋１　（２）　１−１/ｘ²　（３）　ｓｉｎ２ｘ　５０．　−≦ｋ≦

５１．　極大値　２　（ｘ＝１のとき）、極小値　−２　（ｘ＝−１のとき）　５２．　ｎｘ−ｎ

５３．（１）　ｘ³＋ｘ²−ｘ＋Ｃ　（２）　ｓｉｎｘ＋Ｃ　（３）　−（Ｘ＋１）ｅ^-ｘ＋Ｃ　（Ｃは積分定数）

５４．　Ｆ（ｘ）＝ｘ−１　５５．　３２/３