方程式
は、１ ≦ ｘ ≦ ｙ を満たす自然数の解の組（ ｘ ， ｙ ）をちょうど２０１２個持つという。
そのような自然数 ｎ をすべて求めよ。
（答） 方程式の分母を払って整理すると、 ｘｙ−ｎｘ−ｎｙ＝０
このとき、 （ｘ−ｎ）（ｙ−ｎ）＝ｎ2
１ ≦ ｘ ≦ ｙ なので、 １−ｎ ≦ ｘ−ｎ ≦ ｙ−ｎ
ここで、 １−ｎ ≦ ｘ−ｎ ≦ ｙ−ｎ＜０ と仮定すると、（ｘ−ｎ）（ｙ−ｎ）≦（ｎ−１）2 で、
（ｘ−ｎ）（ｙ−ｎ）＝ｎ2 より、 ｎ2≦（ｎ−１）2 これは矛盾である。
よって、 （ｘ−ｎ）（ｙ−ｎ）＝ｎ2＞０ より、 ｘ−ｎ と ｙ−ｎ は同符号なので、
０ ＜ ｘ−ｎ ≦ ｙ−ｎ であると言える。（ ｘ−ｎ＝０ は起こりえないことに注意！）
自然数解が２０１２個あるためには、ｎ2 の約数を小さい順に並べた場合、約数がちょう
ど ａ1、ａ2、・・・、ａ2012（＝ｎ）、ａ2013、・・・、ａ4022、ａ4023 の４０２３個あるときで、
そのとき、自然数解の組は、
（ ａ1 ， ａ4023 ）、 （ ａ2 ， ａ4022 ）、・・・、 （ ａ2011 ， ａ2013 ）、 （ ａ2012 ， ａ2012 ）
の２０１２個となる。
ｎ2 の素因数分解を、
ｎ2 ＝ｐａｑｂ・・・ｒｃ （ｐ＜ｑ＜・・・＜ｒ は素数で、ａ、ｂ、・・・、ｃは自然数）
とすると、ｎ2 の約数の個数は、 （ａ＋１）（ｂ＋１）・・・（ｃ＋１）
よって、 （ａ＋１）（ｂ＋１）・・・（ｃ＋１）＝４０２３＝３3×１４９
以上から、起こりうる場合は次のようになる。
（１） ａ＋１＝４０２３ すなわち、 ａ＝４０２２ このとき、 ｎ＝ｐ2011
（２） ａ＋１＝３ 、ｂ＋１＝１３４１ すなわち、 ａ＝２ 、ｂ＝１３４０
このとき、 ｎ＝ｐｑ670
ａ＋１＝１３４１ 、ｂ＋１＝３ すなわち、 ａ＝１３４０ 、ｂ＝２
このとき、 ｎ＝ｐ670ｑ
（３） ａ＋１＝９ 、ｂ＋１＝４４７ すなわち、 ａ＝８ 、ｂ＝４４６
このとき、 ｎ＝ｐ4ｑ223
ａ＋１＝４４７ 、ｂ＋１＝９ すなわち、 ａ＝４４６ 、ｂ＝８
このとき、 ｎ＝ｐ223ｑ4
（４） ａ＋１＝２７ 、ｂ＋１＝１４９ すなわち、 ａ＝２６ 、ｂ＝１４８
このとき、 ｎ＝ｐ13ｑ74
ａ＋１＝１４９ 、ｂ＋１＝２７ すなわち、 ａ＝１４８ 、ｂ＝２６
このとき、 ｎ＝ｐ74ｑ13
（５） ａ＋１＝３ 、ｂ＋１＝３ 、ｃ＋１＝４４７ すなわち、 ａ＝２ 、ｂ＝２ 、ｃ＝４４６
このとき、 ｎ＝ｐｑｒ223
ａ＋１＝３ 、ｂ＋１＝４４７ 、ｃ＋１＝３ すなわち、 ａ＝２ 、ｂ＝４４６ 、ｃ＝２
このとき、 ｎ＝ｐｑ223ｒ
ａ＋１＝４４７ 、ｂ＋１＝３ 、ｃ＋１＝３ すなわち、 ａ＝４４６ 、ｂ＝２ 、ｃ＝２
このとき、 ｎ＝ｐ223ｑｒ
（６） ａ＋１＝９ 、ｂ＋１＝３ 、ｃ＋１＝１４９ すなわち、 ａ＝８ 、ｂ＝２ 、ｃ＝１４８
このとき、 ｎ＝ｐ4ｑｒ74
同様にして、 ｎ＝ｐ4ｑ74ｒ 、ｎ＝ｐｑ4ｒ74 、ｎ＝ｐ74ｑ4ｒ 、ｎ＝ｐ74ｑｒ4 、ｎ＝ｐｑ74ｒ4
（７） ａ＋１＝３ 、ｂ＋１＝３ 、ｃ＋１＝３ 、ｄ＝１４９
すなわち、 ａ＝８ 、ｂ＝２ 、ｃ＝２ 、ｄ＝１４８
このとき、 ｎ＝ｐ4ｑｒｓ74
同様にして、 ｎ＝ｐ4ｑｒ74ｓ 、ｎ＝ｐ4ｑ74ｒｓ 、ｎ＝ｐｑ4ｒｓ74 、ｎ＝ｐｑ4ｒ74ｓ 、
ｎ＝ｐ74ｑ4ｒｓ 、ｎ＝ｐｑｒ4ｓ74 、ｎ＝ｐｑ74ｒ4ｓ 、ｎ＝ｐ74ｑｒ4ｓ 、
ｎ＝ｐｑｒ74ｓ4 、ｎ＝ｐｑ74ｒｓ4 、ｎ＝ｐ74ｑｒｓ4
以上から、求める自然数 ｎ は、ｐ＜ｑ＜ｒ＜ｓ を素数として、
ｐ2011 、ｐｑ670 、ｐ670ｑ 、ｐ4ｑ223 、ｐ223ｑ4 、ｐ13ｑ74 、ｐ74ｑ13 、ｐｑｒ223 、
ｐｑ223ｒ 、ｐ223ｑｒ 、ｐ4ｑｒ74 、ｐ4ｑ74ｒ 、ｐｑ4ｒ74 、ｐ74ｑ4ｒ 、ｐ74ｑｒ4 、ｐｑ74ｒ4 、
ｐ4ｑｒｓ74 、ｐ4ｑｒ74ｓ 、ｐ4ｑ74ｒｓ 、ｐｑ4ｒｓ74 、ｐｑ4ｒ74ｓ 、ｐ74ｑ4ｒｓ 、ｐｑｒ4ｓ74 、
ｐｑ74ｒ4ｓ 、ｐ74ｑｒ4ｓ 、ｐｑｒ74ｓ4 、ｐｑ74ｒｓ4 、ｐ74ｑｒｓ4 の全２８パターン
（コメント） こんなにパターンが多くては、パズルになりませんでしたね！
（追記） 平成２５年２月１１日付け
数学関連の雑誌を眺めていたら、次の問題が目にとまった。上記の関連問題である。
ｎ は２以上の自然数とする。方程式
を満たす自然数の解の組（ ｘ ， ｙ ）がちょうど２５組あるとき、ｎ は平方数であることを示せ。
（これは、私の敬愛する安田 亨先生（駿台予備校）出題のものである。）
上記の解法にならって解いてみよう。
（解） 方程式の分母を払って整理すると、 ｘｙ−ｎｘ−ｎｙ＝０ より、 （ｘ−ｎ）（ｙ−ｎ）＝ｎ2
１ ≦ ｘ 、 ｙ なので、 １−ｎ ≦ ｘ−ｎ 、１−ｎ ≦ ｙ−ｎ
ここで、 ｘ−ｎ＜０ 、 ｙ−ｎ＜０ と仮定すると、（ｘ−ｎ）（ｙ−ｎ）≦（ｎ−１）2 で、
（ｘ−ｎ）（ｙ−ｎ）＝ｎ2 より、 ｎ2≦（ｎ−１）2 これは矛盾である。
よって、 （ｘ−ｎ）（ｙ−ｎ）＝ｎ2＞０ より、 ｘ−ｎ と ｙ−ｎ は同符号なので、
０ ＜ ｘ−ｎ 、０ ＜ ｙ−ｎ であると言える。（ ｘ−ｎ＝０ は起こりえないことに注意！）
自然数解が２５組あるためには、ｎ2 の約数を小さい順に並べた場合、約数がちょう
ど ａ1、ａ2、・・・、ａ13（＝ｎ）、ａ14、・・・、ａ24、ａ25 の２５個あるときで、
そのとき、自然数解の組は、
（ ａ1 ， ａ25 ）、 （ ａ2 ， ａ24 ）、・・・、 （ ａ12 ， ａ14 ）、 （ ａ13 ， ａ13 ）
（ ａ25 ， ａ1 ）、 （ ａ24 ， ａ2 ）、・・・、 （ ａ14 ， ａ12 ）
の２５組となる。
ｎ2 の素因数分解を、
ｎ2 ＝ｐａｑｂ・・・ｒｃ （ｐ＜ｑ＜・・・＜ｒ は素数で、ａ、ｂ、・・・、ｃは自然数）
とすると、ｎ2 の約数の個数は、 （ａ＋１）（ｂ＋１）・・・（ｃ＋１）
よって、 （ａ＋１）（ｂ＋１）・・・（ｃ＋１）＝２５＝５2
以上から、起こりうる場合は次のようになる。
（１） ａ＋１＝２５ すなわち、 ａ＝２４ このとき、 ｎ＝ｐ12
（２） ａ＋１＝５ 、ｂ＋１＝５ すなわち、 ａ＝４ 、ｂ＝４ このとき、 ｎ＝ｐ2ｑ2
以上から、求める自然数 ｎ は、ｐ＜ｑ を素数として、ｎ＝ｐ12 または、ｎ＝ｐ2ｑ2 と表され、
平方数である。 （終）
（コメント） この問題は模擬試験に出題され、大変出来が悪かったそうです。