当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ［ＧＡＩ」さんより、「２０１２年」問題を頂きました。
（平成２３年１２月３１付け）
４つの数字 ２、０、１、２ を順番に使って、０ から ９ までを作れ。
（答） 解答例です。
０＝２＋０-１×２ 、１＝２＋０＋１−２ 、２＝２0−１＋２ 、３＝２＋（０−１）2
４＝２＋０＋１×２ 、５＝２＋０＋１＋２ 、６＝２×（０＋１＋２）
７＝（２＋０！）！−１＋２ （← らすかるさん 平成２３年１２月３１日付け）
８＝２0+1+2 、９＝（２＋０＋１）2
（追記） ＦＮさんが、「２０１２年は平成２４年だから、２４まで作りましょう。」ということで、以下
の計算例を与えられました。
２桁以上として使うのもありとし、使う記号は少ないほどいいとします。例えば、８は、
２０−１２＝８ が最善です。
１０＝−２＋０＋１２ 、１１＝−２0＋１２ 、１２＝２×０＋１２ 、１３＝２0＋１２
１４＝２＋０＋１２ 、１５＝２＋０！＋１２ 、１６＝２0!+1+2 、１７＝２０−１−２
１８＝２０−１×２ 、１９＝２０＋１−２ 、２０＝２０×１2 、２１＝２０−１＋２
２２＝２０＋１×２ 、２３＝２０＋１＋２ 、２４＝２×（０＋１２）
２５はできるでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２３年１月１日付け）
使う記号が少ないほど良いなら、 １０＝２０÷１÷２ が最善かな？
また、２５＝[√√√√√√√√√√√√(２０１２！)] （※［ｘ］はガウスの記号）はどうで
しょうか？
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１月１日付け）
確かに、 １０＝２０÷１÷２ の方がいいですね。
２５＝[√√√√√√√√√√√√(２０１２！)] については、チェックするのも大変です。
両辺の対数をとって計算したら確かになりました！
実際に、Ｎ＝√√√√√√√√√√√√(２０１２！)の自然対数をとると、
ｌｏｇＮ＝（Σｋ=1〜2012ｌｏｇ ｋ）/２12
このとき、 ∫[1，2012]ｌｏｇ ｘ ｄｘ＜Σｋ=1〜2012ｌｏｇ ｋ＜∫[1，2012]ｌｏｇ ｘ ｄｘ＋ｌｏｇ2012 から、
2012ｌｏｇ2012−2011＜Σｋ=1〜2012ｌｏｇ ｋ＜2013ｌｏｇ2012−2011
ここで、ｌｏｇ2012＝7．60688453121963・・・ なので、
13294．0516768139・・・＜Σｋ=1〜2012ｌｏｇ ｋ＜13301．6585613451・・・
よって、 3．24561808515964・・・＜（Σｋ=1〜2012ｌｏｇ ｋ）/２12＜3．24747523470339・・・
このとき、 3．24561808515964・・・＜ｌｏｇＮ＜3．24747523470339・・・ なので、
25．6775760851597・・・＜Ｎ＜25.7253074923325
このことから、[√√√√√√√√√√√√(２０１２！)]＝[Ｎ]＝２５ であることが分かる。
階乗と√とガウス記号があれば、大概の数からスタートして、大概の数を得ることは可能
だろうと思ったことはあるのですが、実際に証明しようとすれば大変だろうなと思いました。
こんな簡単な(！？)式で実現できてるのは驚異的です。
（コメント） ２０１２の階乗に根号を１２個も重ねるという発想は、もう神業のレベルですね！
らいさんからのコメントです。（平成２３年１月１日付け）
２５の式はとても素晴らしいものですね！ただ、記号が少ない方がいいとするならば、
２５＝（（２＋０！）！−１）2 続いて、 ２６＝２０＋（１＋２）！ 、２７＝（２＋０！）1+2
が最善かと思いますが、２８はどうでしょうか．．．。
（コメント） 「２５」については、多分、らいさんの解が最善のようですね！ガウス記号を用
いていない点が素晴らしいです。階乗と√とガウス記号を用いた解として、私な
りに創作した
２５＝｛２×（０！＋１）｝！＋［
］が最善かなと思っていたのですが、らいさんの解には遠く及ばないですね！
ＦＮさんからのコメントです。（平成２３年１月１日付け）
２５は意外に簡単にできるのですね。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２３年１月１日付け）
ガウス記号を導入して、シンプルに、
２５＝（[√２０]＋１）2 、 ２８＝[√２０１]×２
（コメント） とてもシンプルです！らいさんも同感とのこと。