当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ｈａｓｕ」さんからの出題です。
（平成２４年６月７日付け）
[問題] 十字路があります。この十字路で人と車それぞれの待たされる時間全体の期待値
が同じになり、かつその値が最小になる信号の変わり方を答えてください。
ただし、人（車）が交差点を渡る時間は考えないものとし、信号はどんなつき方をし
てもいいとする。
（例えば、どこかひとつだけが点く、どこも点かないや車の信号だけ青になるなど）
(例) 信号が青・赤と交互に代わる交差点での期待値は？
＜人の場合＞
１．反対側に渡る
もし初めに、渡りたい信号が赤なら１分待ちます、もし青なら０分待ちます。
よって、期待値は０．５分
２．対角線に渡る
もし初めに、渡りたい信号が赤なら、もう片方の信号は青です。
よって、この場合は初めに必ず渡れ、そのあと、必ず待たされるので１分になります。
１．２．より、期待値は、（0.5*2＋1)/2＝１分となります。
＜車の場合＞
1．前に行く
この場合は、信号が赤なら1分、青なら0分なので、期待値は、0.5分です。
２．右、左に行く
どちらも、信号が青なら0分、赤なら1分なので、期待値は、0.5分です。
１．２．より、期待値は、0.5*3/3=０．５分です。
この交差点では明らかに車が優遇されていると分かります。
この問題は、この前ふと思いついたものですが、私は確率の辺りがものすごく苦手なので
分かりません。誰かもし解けたという人がいたら教えて下さい。一応予想では、最近よく見る
まず車が渡ってからまとめて人が渡るというのが正解だと思うのですが…。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年６月７日付け）
まず、期待値の計算が違っていると思います。
1分ごとに青赤が変わる交差点であれば、人が反対側に渡る場合、
1/2の確率で青で、このとき、待ち時間は、0分
1/2の確率で赤で、このとき、平均待ち時間は、0.5分
よって、期待値は、0.25分
対角線に渡る場合、
1/2の確率で青で、このとき、平均待ち時間は、0.5分
1/2の確率で赤で、このとき、平均待ち時間は、1.5分
よって、期待値は、1分なので、3方向の確率が等しいならば、全体では、
(0.25×2+1)/3=0.5分
となるのではないでしょうか。
ｈａｓｕさんからのコメントです。（平成２４年６月７日付け）
すいません、確率は苦手ですが、まさかこんな初歩で間違えているとは思ってもいません
でした。ということは、この変わり方では、車と人は公平だということでしょうか。
らすかるさんからのコメントです。（平成２４年６月８日付け）
そうですね。公平になっていると思います。