当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和４年４月１日付け）
６辺の長さ、体積がともに整数の四面体ABCDがある。
AB=31、BC=33、AC=34、CD=35、BD=32 のとき、ADを答えよ。
（答え） AD＝１１のとき、体積は１６８０ 、AD＝５３のとき、体積は３０２４
実際に、
頂点Ａより、底面ＢＣＤに垂線を下ろし、その足をＨとする。また、Ａより辺ＢＣ、ＢＤに垂線
を下ろし、その足をそれぞれＰ、Ｑとする。また、ＡＤ＝ｘ とおく。
三垂線の定理から、ＨＰ⊥ＢＣ、ＨＱ⊥ＢＤ なので、４点Ｂ、Ｐ、Ｈ、Ｑは同一円周上にあり、
ＢＨはその直径となる。
ヘロンの公式を用いて、 （３３＋３５＋３２）/２＝５０ から、
△ＢＣＤ＝√（５０・１７・１５・１８）＝３０√２５５
余弦定理から、 ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝１４９/３４１ 、ｃｏｓ∠ＣＢＤ＝３７/８８
ｃｏｓ∠ＡＢＤ＝（１９８５−ｘ2）/１９８４
よって、 ＢＰ＝１４９/１１ 、 ＢＱ＝（１９８５−ｘ2）/６４ である。
余弦定理より、ＰＱが求められ、また、正弦定理より、ＢＨ＝ＰＱ/ｓｉｎ∠ＣＢＤ も求められる。
よって、 ＡＨ2＝ＡＢ2−ＢＨ2 から、四面体の高さＡＨが求められるので、ＡＨと△ＢＣＤか
ら、四面体の体積 （１/３）ＡＨ・△ＢＣＤ が求められる。
＃途中の計算が膨大で、何とか数式をまとめて、最後は、Ｅｘｃｅｌ 先生の助っ人を得て、答え
が得られました。皆さんは、どう解かれますか？もっと計算量の少ないエレガントな解答は
ないものでしょうか？ もし、ありましたら、是非、ご教示ください。
（参考） 次は、ｘ＝１１のときの計算過程です。
ＢＰ＝１４９/１１ 、 ＢＱ＝２３３/８
ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝１４９/３４１ 、ｃｏｓ∠ＣＢＤ＝３７/８８ 、ｃｏｓ∠ＡＢＤ＝２３３/２４８
これより、 ＰＱ2＝５４２０７７５/７７４４ なので、 ＢＨ2＝７２２７７/８５
よって、 ＡＨ2＝９４０８/８５ から、 ＡＨ＝（５６/８５）√２５５
以上から、四面体の体積は、 （１/３）・（５６/８５）√２５５・３０√２５５＝１６８０ となり、
確かに整数である。
同様に、ｘ＝５３のときも計算しておこう。
ｃｏｓ∠ＡＢＣ＝１４９/３４１ 、ｃｏｓ∠ＣＢＤ＝３７/８８ 、ｃｏｓ∠ＡＢＤ＝−１０３/２４８ で、
∠ＡＢＤは鈍角である。
ＢＰ＝１４９/１１ 、 ＢＱ＝１０３/８ で、ＱはＤＢの延長上にあるので、
ＰＱ2＝ＢＰ2＋ＢＱ2−２ＢＰ・ＢＱ・ｃｏｓ（π−∠ＣＢＤ）＝３８４０２３１/７７４４
よって、ＢＨ2＝１２８００７７/２１２５ より、 ＡＨ2＝７６２０４８/２１２５ から、
ＡＨ＝１５１２/√６３７５ となる。
以上から、四面体の体積は、 （１/３）・１５１２/√６３７５・３０√２５５＝３０２４ となり、
確かに整数である。
以下、工事中！