当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２４年７月２７日付け）
半径17cmの球を平面に切った形の容器に水が入れてある。これに半径8cmの鉄球を沈
めたところ、水面はちょうど鉄球の面とすれすれになった。初めの水の深さはいくらか。
（答） 球の中心から ａ だけ離れたところに元の水面があったとすると、題意より、
ａ3−８６７ａ＋２９１４＝０
が成り立つ。「Wolfram|Alpha」に挿入して、ａ＝（３１−３√６５）/２ を得る。
（大体、ａ＝3.40661337755218・・・ ）
よおすけさんから解答を頂きました。（平成２４年７月２８日付け）
この問題は、旺文社の高校数学解法事典に載っていた問題の改題です。その事典では、
整式の積分で求めていましたので、それにならって書きます。
座標平面上で、球の中心を原点とし、これを含む鉛直面による切り口をつくる。容器及び
鉄球の切り口の円はそれぞれ以下の通りである。
ｘ2+ｙ2=172 、ｘ2+(ｙ+9)2=82
よって、水の容積をVcm3とすると、
V=π∫-1-17 {(172-ｙ2)-{82-(ｙ+9)2}}dｙ=π∫-1-17 (18ｙ+306)dｙ=2304π・・・(1)
また、初めに、水が容積のｙ座標のａのところまであったとすると、
V=∫ａ-17 (172-ｙ2)dｙ=π(289a-(a3/3)+(9826/3))・・・(2)
(1)、(2)より、 289a-(a3/3)+(9826/3)=2304 なので、 a3-867a-2914=0
ここで、 2914=2×31×47 より、P(a)=a3-867a-2914 とおくと、P(a)=0 になる a の値は
a=1 のとき、P(1)=-3780 、a=2 のとき、P(2)=-4640 、a=31 のとき、P(31)=0
a=47 のとき、P(47)=60160
であるから、a の値の1つは31。すなわち、P(a)は、a-31で割り切れるので、因数分解すれ
ば、P(a)=a3-867a-2914=(a-31)(a2+31a+94) となるので、方程式は、(a-31)(a2+31a+94)=0
よって、 a=31、(-31±3√65)/2
ここで、-17<a<17 より、a=31は不適で、√65≒8.062より、a=(-31+3√65)/2は適するが、
a=(-31-3√65)/2は不適。 よって、a=(-31+3√65)/2 が求める値となる。
したがって、初めの水の深さは、{(-31+3√65)/2}-(-17)=3(1+√65)/2 (cm)
（注： 3(1+√65)/2≒13.593）
（コメント） ａ3−８６７ａ＋２９１４＝０ の因数分解を「Wolfram|Alpha」に依存してしまいまし
た。ａ＝３１を発見するのは、手計算では大変と思ったもので．．．ｆ(^^;) 。