当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２９年３月１７日付け）
cos2θ＋cos4θ＝1 のとき、sinθ＋sin2θ の値はいくらか。
（答え） らすかるさんが考察されました。（平成２９年３月１７日付け）
（cos2θ）2＋cos2θ−１＝０ を解いて、 cos2θ＝(−１±
)/２(−１−
)/２＜0 なので、 cos2θ＝(−１＋)/２このとき、 ｓｉｎ2θ＝１−(−１＋
)/２＝(３−)/２ より、ｓｉｎθ＝±√{(３−
)/２}＝±(−１)/２よって、 ｓｉｎθ＋ｓｉｎ2θ＝±(
−１)/２＋(３−)/２＝１、２−ＧＡＩ さんが考察されました。（平成２９年３月１７日付け）
(１−ｓｉｎ2θ)＋(１−ｓｉｎ2θ)2＝１ より、 ｓｉｎ4θ−３ｓｉｎ2θ＋１＝０
ｘ＝ｓｉｎθ (-1≦x≦1) とおくと、 ｘ4−３ｘ2＋１＝０ より、 (x2−x−１)(x2＋x−１)＝０
x2−x−１＝０ のとき、ｓｉｎθ＋ｓｉｎ2θ＝ｘ＋x2＝２ｘ＋１＝２（(１−
)/２）＋１＝２−x2＋x−１＝０ のとき、ｓｉｎθ＋ｓｉｎ2θ＝ｘ＋x2＝１
（コメント） 条件式 cos2θ＋cos4θ＝1 を適当にいじってみた。
１＋cos2θ＝１/cos2θ＝１＋ｔａｎ2θ より、 ｔａｎθ＝±ｃｏｓθ
ｔａｎθ＝ｃｏｓθ のとき、 ｓｉｎθ＝cos2θ＝１−ｓｉｎ2θ
よって、 ｓｉｎθ＋ｓｉｎ2θ＝１
ｔａｎθ＝−ｃｏｓθ のとき、 ｓｉｎθ＝−cos2θ＝ｓｉｎ2θ−１
よって、 ｓｉｎθ＋ｓｉｎ2θ＝２ｓｉｎθ＋１＝２（(１−
)/２）＋１＝２−