式の値4                                  戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                       (平成29年3月17日付け)

 cos2θ+cos4θ=1 のとき、sinθ+sin2θ の値はいくらか。







































(答え) らすかるさんが考察されました。(平成29年3月17日付け)

 (cos2θ)2+cos2θ−1=0 を解いて、 cos2θ=(−1±)/2

 (−1−)/2<0 なので、 cos2θ=(−1+)/2

 このとき、 sin2θ=1−(−1+)/2=(3−)/2 より、

  sinθ=±√{(3−)/2}=±(−1)/2

よって、 sinθ+sin2θ=±(−1)/2+(3−)/2=1、2−


 GAI さんが考察されました。(平成29年3月17日付け)

 (1−sin2θ)+(1−sin2θ)2=1 より、 sin4θ−3sin2θ+1=0

 x=sinθ (-1≦x≦1) とおくと、 x4−3x2+1=0 より、 (x2−x−1)(x2+x−1)=0

 x2−x−1=0 のとき、sinθ+sin2θ=x+x2=2x+1=2((1−)/2)+1=2−

 x2+x−1=0 のとき、sinθ+sin2θ=x+x2=1


(コメント) 条件式 cos2θ+cos4θ=1 を適当にいじってみた。

 1+cos2θ=1/cos2θ=1+tan2θ より、 tanθ=±cosθ

 tanθ=cosθ のとき、 sinθ=cos2θ=1−sin2θ

 よって、 sinθ+sin2θ=1

 tanθ=−cosθ のとき、 sinθ=−cos2θ=sin2θ−1

 よって、 sinθ+sin2θ=2sinθ+1=2((1−)/2)+1=2−