当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２６年５月１７日付け）
ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ について、次の問いに答えよ。(１) 上の式を、ｒ・sin(θ＋α) の形に変形せよ。ただし、r＞0、αは鋭角とする。
(２) ｓｉｎ(5π/12) の値を求めよ。
（答え） Ｓ（Ｈ）さんが考察されました。（平成２６年５月１７日付け）
（cos(5π/12)，ｓｉｎ(5π/12)）のｓｉｎ(5π/12)の方のみ要求されましたが、cos(5π/12)も対
で、引き離すことに忍びなく．．．。
（cos(5π/12)，ｓｉｎ(5π/12)）＝（（√｛２−
｝）/２，（√｛２＋｝）/２）＝（（
−
）/４，（＋）/４）（コメント） （２）が新鮮ですね！解いてみました。
（解） （１）
ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝２ｓｉｎ（θ＋π/6）（２） （１）より、
２ｓｉｎ(5π/12)＝２ｓｉｎ(π/4＋π/6)＝
ｓｉｎ(π/4)＋ｃｏｓ(π/4)＝（＋）/２よって、 ｓｉｎ(5π/12)＝（
＋）/４ （終）また、Ｓ（Ｈ）さんの計算を手計算で追認してみよう。
θ＝5π/12 とおくと、２θ＝5π/6 なので、ｓｉｎ２θ＝1/2 すなわち、 ｓｉｎθｃｏｓθ＝1/4
このとき、（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）2＝１＋1/2＝3/2 において、ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＞０ だから、
ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ＝
/2 となる。よって、ｓｉｎθ、ｃｏｓθは、２次方程式 ｘ2−（
/2）ｘ＋1/4＝０ の解となる。解の公式より、 ｘ＝（
±）/４ で、 ｃｏｓθ＜ｓｉｎθ より、ｃｏｓθ＝（
−）/４ 、ｓｉｎθ＝（＋）/４（コメント） （（√｛２−
｝）/２，（√｛２＋｝）/２）の形を出す場合は、ｓｉｎθｃｏｓθ＝1/4 の両辺を平方して、 ｓｉｎ2θ＝（２＋
）/４ から得られます。Ｓ（Ｈ）さんの計算では、ｓｉｎ、ｃｏｓの両方を意識して計算しなければならないが、よおすけ
さんの計算では、ｓｉｎの合成のみを用いて解かれるので容易ですね！