当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２６年５月７日付け）
ａ/（ａｂ＋ａ＋１）＋ｂ/（ｂｃ＋ｂ＋１）＋ｃ/（ｃａ＋ｃ＋１）＝１ のとき、ａｂｃの値を求めよ。
（コメント） 通常の出題の仕方から言えば、「ａｂｃ＝１のとき、与式の値を求めよ。」なのだが、
このような出題の形式は新鮮ですね！
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２６年５月７日付け）
ａｂｃ＝１ ならば、ａ/（ａｂ＋ａ＋１）＋ｂ/（ｂｃ＋ｂ＋１）＋ｃ/（ｃａ＋ｃ＋１）＝１ を自明でも証明
願います。同様に、ａｂｃｄ＝１ のとき、上の如き問を作問願います。
（コメント） ａｂｃ＝１ が分かっていれば、証明は平易でしょう！
実際に、 左辺＝ａ/（ａｂ＋ａ＋１）＋ａｂ/（ａｂ＋ａ＋１）＋１/（ａｂ＋ａ＋１）
＝（ａｂ＋ａ＋１）/（ａｂ＋ａ＋１）＝１＝右辺
よおすけさんからのコメントです。（平成２６年５月７日付け）
S(H)さん、ありがとうございます。ａｂｃ＝１ で正解です。
略解答としては、分母、分子に、(ab＋a＋1)(bc＋b＋1)(ca＋c＋1) をかけると、
a(bc＋b＋1)(ca＋c＋1)＋b(ab＋a＋1)(ca＋c＋1)＋c(ab＋a＋1)(bc＋b＋1)
＝(ab＋a＋1)(bc＋b＋1)(ca＋c＋1)
(abc+2ab+ab2+a+b)(ca＋c＋1)=(ca＋1)(ab＋a＋1)(bc＋b＋1)
=(a2bc+ab+ca2+a+ca+1)(bc+b+1)
a2bc2+2a2bc+a2b2c+ca2+abc+abc2+2abc+ab2c+ca+bc+abc+2ab+ab2+a+b
=a2b2c2+ab2c+a2bc2+abc+abc2+bc+a2b2c+ab2+a2bc+ab+abc+b+a2bc+ab+ca2+a+ca+1
となるので、これを整理すると、 ２ａｂｃ=ａ2ｂ2ｃ2+1 より、 (ａｂｃ−１)2=0 よって、ａｂｃ＝１
ａｂｃ＝１のとき、ａ/（ａｂ＋ａ＋１）＋ｂ/（ｂｃ＋ｂ＋１）＋ｃ/（ｃａ＋ｃ＋１）の値は？でしたら、
例えば、ｂ＝1/(ca) と変形して、ｂ/（ｂｃ＋ｂ＋１）＝｛1/(ca)｝/｛1/a+1/(ca)+1｝=1/(ca+c+1)
さらに、ａ/（ａｂ＋ａ＋１）については、分母・分子にcをかけて、ａ/（ａｂ＋ａ＋１）=ca/(ca+c+1)
よって、 ａ/（ａｂ＋ａ＋１）＋ｂ/（ｂｃ＋ｂ＋１）＋ｃ/（ｃａ＋ｃ＋１）＝1
となります。証明というより、単なる計算になりました．．．。
よおすけさんからのコメントです。（平成２６年５月１３日付け）
ａｂｃｄ＝1のとき、
ａ/（ａｂｃ＋ａｂ＋ａ＋１）＋ｂ/（ｂｃｄ＋ｂｃ＋ｂ＋１）＋ｃ/（ｃｄａ＋ｃｄ＋ｃ＋１）＋ｄ/（ｄａｂ＋ｄａ＋ｄ＋１）
の値を求めよ。
元々、冒頭の問題は、星野華水 著 チャート式 代数学(復刻版) に載っていたものです。
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