式の値2
当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
(平成26年5月7日付け)
a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ca+c+1)=1 のとき、abcの値を求めよ。
(コメント) 通常の出題の仕方から言えば、「abc=1のとき、与式の値を求めよ。」なのだが、
このような出題の形式は新鮮ですね!
S(H)さんからのコメントです。(平成26年5月7日付け)
abc=1 ならば、a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ca+c+1)=1 を自明でも証明
願います。同様に、abcd=1 のとき、上の如き問を作問願います。
(コメント) abc=1 が分かっていれば、証明は平易でしょう!
実際に、 左辺=a/(ab+a+1)+ab/(ab+a+1)+1/(ab+a+1)
=(ab+a+1)/(ab+a+1)=1=右辺
よおすけさんからのコメントです。(平成26年5月7日付け)
S(H)さん、ありがとうございます。abc=1 で正解です。
略解答としては、分母、分子に、(ab+a+1)(bc+b+1)(ca+c+1) をかけると、
a(bc+b+1)(ca+c+1)+b(ab+a+1)(ca+c+1)+c(ab+a+1)(bc+b+1)
=(ab+a+1)(bc+b+1)(ca+c+1)
(abc+2ab+ab2+a+b)(ca+c+1)=(ca+1)(ab+a+1)(bc+b+1)
=(a2bc+ab+ca2+a+ca+1)(bc+b+1)
a2bc2+2a2bc+a2b2c+ca2+abc+abc2+2abc+ab2c+ca+bc+abc+2ab+ab2+a+b
=a2b2c2+ab2c+a2bc2+abc+abc2+bc+a2b2c+ab2+a2bc+ab+abc+b+a2bc+ab+ca2+a+ca+1
となるので、これを整理すると、 2abc=a2b2c2+1 より、 (abc−1)2=0 よって、abc=1
abc=1のとき、a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ca+c+1)の値は?でしたら、
例えば、b=1/(ca) と変形して、b/(bc+b+1)={1/(ca)}/{1/a+1/(ca)+1}=1/(ca+c+1)
さらに、a/(ab+a+1)については、分母・分子にcをかけて、a/(ab+a+1)=ca/(ca+c+1)
よって、 a/(ab+a+1)+b/(bc+b+1)+c/(ca+c+1)=1
となります。証明というより、単なる計算になりました...。
よおすけさんからのコメントです。(平成26年5月13日付け)
abcd=1のとき、
a/(abc+ab+a+1)+b/(bcd+bc+b+1)+c/(cda+cd+c+1)+d/(dab+da+d+1)
の値を求めよ。
元々、冒頭の問題は、星野華水 著 チャート式 代数学(復刻版) に載っていたものです。
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