正接の値
下図のように、C=90°の直角三角形ABCにおいて、頂角Aの2等分線が辺BCと交わる
点をDとおく。
AB=4、BD=2 のとき、tanθの値を求めよ。
(答え) ∠BAD=φ とおくと、角の2等分線の性質から、 AB : AC=BD : DC
すなわち、 DC/AC=BD/AB=1/2 から、 tanφ=1/2
このとき、 θ=90°−2φ から、tanθ=tan(90°−2φ)=1/tan2φ
ここで、tan2φ=2tanφ/(1−tan2φ)=1/(1−1/4)=4/3 より、
tanθ=3/4 (終)
(コメント) tanφ=1/2 となるφの値は、約26.565°位です。当初、φの方で作問しま
したが、角の2等分線の性質を使うのが見え見えなので、θで作問しました。
(別解) 角の2等分線の性質から、 AB : AC=BD : DC
すなわち、 DC/AC=BD/AB=1/2 なので、DC=m とおくと、AC=2m
三平方の定理より、 (2+m)2+4m2=16 から、 5m2+4m−12=0
よって、 m=(−2+8)/5=6/5 から、tanθ=(12/5)/(16/5)=3/4 (終)
角の2等分線の性質を用いれば、 tanφ=1/2 は簡単に示されるが、次のようにしても
求めることが出来る。
AC=4cos2φ 、DC=4sin2φ−2 なので、
tanφ=(4sin2φ−2)/(4cos2φ)
=(2sin2φ−1)/(2cos2φ)=(4sinφcosφ−1)/(4cos2φ−2)
=(4tanφ−1/cos2φ)/(4−2/cos2φ)
ここで、 1/cos2φ=1+tan2φ なので、
tanφ=(4tanφ−1−tan2φ)/(2−2tan2φ)
すなわち、 2tanφ−2tan3φ=4tanφ−1−tan2φ から、
2tan3φ−tan2φ+2tanφ−1=0 すなわち、 (2tanφ−1)(tan2φ+1)=0
tan2φ+1≠0 なので、 tanφ=1/2
以下、工事中!