下図のように、Ｃ＝９０°の直角三角形ＡＢＣにおいて、頂角Ａの２等分線が辺ＢＣと交わる
点をＤとおく。
ＡＢ＝４、ＢＤ＝２ のとき、ｔａｎθの値を求めよ。
（答え） ∠ＢＡＤ＝φ とおくと、角の２等分線の性質から、 ＡＢ ： ＡＣ＝ＢＤ ： ＤＣ
すなわち、 ＤＣ/ＡＣ＝ＢＤ/ＡＢ＝１/２ から、 ｔａｎφ＝１/２
このとき、 θ＝９０°−２φ から、ｔａｎθ＝ｔａｎ（９０°−２φ）＝１/ｔａｎ２φ
ここで、ｔａｎ２φ＝２ｔａｎφ/（１−ｔａｎ2φ）＝１/（１−１/４）＝４/３ より、
ｔａｎθ＝３/４ （終）
（コメント） ｔａｎφ＝１/２ となるφの値は、約２６．５６５°位です。当初、φの方で作問しま
したが、角の２等分線の性質を使うのが見え見えなので、θで作問しました。
（別解） 角の２等分線の性質から、 ＡＢ ： ＡＣ＝ＢＤ ： ＤＣ
すなわち、 ＤＣ/ＡＣ＝ＢＤ/ＡＢ＝１/２ なので、ＤＣ＝ｍ とおくと、ＡＣ＝２ｍ
三平方の定理より、 （２＋ｍ）2＋４ｍ2＝１６ から、 ５ｍ2＋４ｍ−１２＝０
よって、 ｍ＝（−２＋８）/５＝６/５ から、ｔａｎθ＝（１２/５）/（１６/５）＝３/４ （終）
角の２等分線の性質を用いれば、 ｔａｎφ＝１/２ は簡単に示されるが、次のようにしても
求めることが出来る。
ＡＣ＝４ｃｏｓ２φ 、ＤＣ＝４ｓｉｎ２φ−２ なので、
ｔａｎφ＝（４ｓｉｎ２φ−２）/（４ｃｏｓ２φ）
＝（２ｓｉｎ２φ−１）/（２ｃｏｓ２φ）＝（４ｓｉｎφｃｏｓφ−１）/（４ｃｏｓ2φ−２）
＝（４ｔａｎφ−１/ｃｏｓ2φ）/（４−２/ｃｏｓ2φ）
ここで、 １/ｃｏｓ2φ＝１＋ｔａｎ2φ なので、
ｔａｎφ＝（４ｔａｎφ−１−ｔａｎ2φ）/（２−２ｔａｎ2φ）
すなわち、 ２ｔａｎφ−２ｔａｎ3φ＝４ｔａｎφ−１−ｔａｎ2φ から、
２ｔａｎ3φ−ｔａｎ2φ＋２ｔａｎφ−１＝０ すなわち、 （２ｔａｎφ−１）（ｔａｎ2φ＋１）＝０
ｔａｎ2φ＋１≠０ なので、 ｔａｎφ＝１/２
以下、工事中！