当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和３年１１月１日付け）
次の等式が成り立つように、Aに、１〜９のいずれかを入れよ。ただし、右辺のAAは、２桁
の整数を表し、同じ文字Aには同じ数が入る。
Σk=1A ｔａｎ2 (２k-1π/９)＝AA
（答え） 計算が大変そうですね！
WolframAlpha先生のお力をお借りして、A＝３、６、９ が分かりました。
WolframAlpha先生に、おんぶに抱っこでは申し訳ないので、A＝３ の場合
ｔａｎ2 (π/９)＋ｔａｎ2 (２π/９)＋ｔａｎ2 (４π/９) の値を手計算で求めてみました。
まず、半角の公式により、 ｔａｎ2θ＝ｓｉｎ2θ/ｃｏｓ2θ＝（１−ｃｏｓ２θ）/（１＋ｃｏｓ２θ）
さらに、３倍角の公式より、 ｃｏｓ３τ＝４ｃｏｓ3τ−３ｃｏｓτ
τ＝２π/９ のとき、 ３τ＝２π/３ なので、 ｃｏｓ３τ＝−１/２
τ＝４π/９ のとき、 ３τ＝４π/３ なので、 ｃｏｓ３τ＝−１/２
τ＝８π/９ のとき、 ３τ＝８π/３ なので、 ｃｏｓ３τ＝−１/２
よって、 ｃｏｓτ＝ｔ とおくと、３次方程式 ４ｔ3−ｔ＝−１/２ の３つの解が、
ｔ1＝ｃｏｓ（２π/９） 、ｔ2＝ｃｏｓ（４π/９） 、ｔ3＝ｃｏｓ（８π/９）
で与えられることを示す。
θ＝π/９ のとき、 ｔａｎ2 (π/９)＝（１−ｔ1）/（１＋ｔ1）＝ｙ1 とおく。
θ＝２π/９ のとき、 ｔａｎ2 (２π/９)＝（１−ｔ2）/（１＋ｔ2）＝ｙ2 とおく。
θ＝４π/９ のとき、 ｔａｎ2 (４π/９)＝（１−ｔ3）/（１＋ｔ3）＝ｙ3 とおく。
（１−ｔ1）/（１＋ｔ1）＝ｙ1 から、 ｔ1＝（１−ｙ1）/（１＋ｙ1） で、 ４ｔ13−ｔ1＝−１/２ に
代入して整理すると、 ｙ13−３３ｙ12＋２７ｙ1−３＝０ となる。
同様にして、 ｙ23−３３ｙ22＋２７ｙ2−３＝０
ｙ33−３３ｙ32＋２７ｙ3−３＝０
すなわち、ｙ1、ｙ2、ｙ3 は、３次方程式 ｙ3−３３ｙ2＋２７ｙ−３＝０ の３つの解なので、
解と係数の関係より、 ｔａｎ2 (π/９)＋ｔａｎ2 (２π/９)＋ｔａｎ2 (４π/９)＝ｙ1＋ｙ2＋ｙ3＝３３
である。
また、 ｔａｎ2 (８π/９)＝ｔａｎ2 (π＋π/９)＝ｔａｎ2 (π/９)
ｔａｎ2 (１６π/９)＝ｔａｎ2 (２π−２π/９)＝ｔａｎ2 (２π/９)
ｔａｎ2 (３２π/９)＝ｔａｎ2 (４π−４π/９)＝ｔａｎ2 (４π/９)
なので、
ｔａｎ2 (π/９)＋ｔａｎ2 (２π/９)＋ｔａｎ2 (４π/９)＋ｔａｎ2 (８π/９)
＋ｔａｎ2 (１６π/９)＋ｔａｎ2 (３２π/９)
＝２（ｔａｎ2 (π/９)＋ｔａｎ2 (２π/９)＋ｔａｎ2 (４π/９)）＝２×３３＝６６
同様にして、
ｔａｎ2 (π/９)＋ｔａｎ2 (２π/９)＋ｔａｎ2 (４π/９)＋ｔａｎ2 (８π/９)＋ｔａｎ2 (１６π/９)
＋ｔａｎ2 (３２π/９)＋ｔａｎ2 (６４π/９)＋ｔａｎ2 (１２８π/９)＋ｔａｎ2 (２５６π/９)
＝３（ｔａｎ2 (π/９)＋ｔａｎ2 (２π/９)＋ｔａｎ2 (４π/９)）＝３×３３＝９９
である。
以上から、 Σk=13 ｔａｎ2 (２k-1π/９)＝３３ 、Σk=16 ｔａｎ2 (２k-1π/９)＝６６
Σk=19 ｔａｎ2 (２k-1π/９)＝９９
が成り立つ。
（コメント） Ａ＝３のときと、Ａ＝６、９のときは処理の仕方が全く違うんですね！実際に計算
してみて、それが体感出来ました。