式の値　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「空舟」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年２月１９日付け）

　適当に見かけた問題です。数学�Uの問題です。

　２次方程式　(ｘ−a)(ｘ−b)＋(ｘ−b)(ｘ−c)＋(ｘ−c)(ｘ−a)＝0　の２つの解をα、βとすると
き、次の式の値を求めよ。

　　1／(a−α)(a−β)＋1／(b−α)(b−β)＋1／(c−α)(c−β)

α,βは三次関数 ｙ＝(ｘ-ａ)(ｘ-ｂ)(ｘ-ｃ) の極値を与えるｘですが、それはこの問題にはあま
り利用できなさそうに見えます...。































（答）　 よおすけさんが考察されました。（平成２５年２月１９日付け）

　この2次方程式を整理すると、　3ｘ²-2(a+b+c)ｘ+(ab+bc+ca)=0

　解と係数との関係より、　α+β=2(a+b+c)/3　、αβ=(ab+bc+ca)/3

まず、　(a-α)(a-β)=ａ²-(α+β)ａ+αβ
　　　=ａ²-{2(a+b+c)/3}a+{(ab+bc+ca)/3}=(ａ²-ab+bc-ca)/3=-{(a-b)(c-a)/3}

よって、　1/{(a-α)(a-β)}=-3/{(a-b)(c-a)}・・・(1)

　1/{(b-α)(b-β)}、1/{(c-α)(c-β)}もそれぞれ同じようにして、

　　-3/{(a-b)(b-c)}・・・・(2)　、-3/{(b-c)(c-a)}・・・・(3)

(1)+(2)+(3)をあわせて、　与式=-3{(a-b)+(b-c)+(c-a)}/{(a-b)(b-c)(c-a)}=0


　空舟さんからのコメントです。（平成２５年２月１９日付け）

　回答ありがとうございます。よおすけさんの解法を見て、それからいろいろ考えてやっと思
いついたのですが

　f(ｘ)＝(ｘ-a)(ｘ-b)+(ｘ-b)(ｘ-c)+(ｘ-c)(ｘ-a)　、f(ｘ)＝3(ｘ-α)(ｘ-β)　の両者に、例えば、

ｘ=ａ を代入することで、3(a-α)(a-β) = (a-b)(a-c) を得ます。この結果は３次関数の性質
として書くと、

　３次関数　ｙ=(ｘ-a)(ｘ-b)(ｘ-c)　について、　1/y’(a) + 1/y’(b) + 1/y’(c) = 0

が成り立つ、ということになるみたいです。

　（※）　参考資料との関連は結びつくかと考えてみたりするけれども...。

　「シュタイナー楕円」において、∠ALU＝∠VLBを示す長い計算は、先のように

　　f(ｘ)＝(ｘ-ａ)(ｘ-ｂ)+(ｘ-ｂ)(ｘ-ｃ)+(ｘ-ｃ)(ｘ-ａ)　、f(ｘ)＝3(ｘ-α)(ｘ-β)

　これらに ｘ= (a+b)/2 を代入することで

　f((a+b)/2) = {(a+b)/2-a}{(a+b)/2-b}　、f((a+b)/2) = 3{(a+b)/2-α}{(a+b)/2-β}

を得る。これより、

　　分子＝f((a+b)/2)/3　、分母＝f((a+b)/2)

とすぐに １/３ を得られることに気が付きました。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２５年２月２０日付け）

　ａ、ｂ、ｃ をガウス平面上の易しい３点と具現化；ａ=3 + 3*I、ｂ=-3、ｃ=1 - 2*I　し、

　1/(a−α)(a−β)＋1/(b−α)(b−β)＋1/(c−α)(c−β) = 0 となる。