単位円　 　　 　 　　 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（令和４年４月１０日付け）

左図の単位円Oで、ATは接線、∠AOB=α　(0＜α＜π/2) 　　のとき、次の問いに答えよ。 　　(1)　△OAB＜扇形OAB＜△OAT　から、sinα＜α＜tanα 　　　　を証明せよ。 　　(2)　これから、次の式を導け。 　　　　　cosα＜(sinα)/α＜1 　　　　　（1/2）(cos(α/2))^2＜(1-cosα)/α^2＜1/2

　　　　　　　　　　　　　　(3)　αの値がきわめて小さいとき、(sinα)/α、(1-cosα)/α^2　は
　　　　　　　　　　　　　　　　それぞれ、ほぼどんな数に近いといえるか。


























（答）　厳密さは求めないで、ざっくりと示したいと思います。

(1)　△OAB＜扇形OAB＜△OAT　から、

　　　（１/２）ＯＡ・ＯＢｓｉｎα＜（１/２）ＯＡ²α＜（１/２）ＯＡ²ｔａｎα

　　ＯＡ＝ＯＢ　なので、両辺を　（１/２）ＯＡ²　で割って、　ｓｉｎα＜α＜ｔａｎα　となる。

(2)　ｓｉｎα＜α＜ｔａｎα　から、　(sinα)/α＜1　かつ　ｃｏｓα＜(sinα)/α　なので、

　　　cosα＜(sinα)/α＜1　が言える。

　　αにα/２を代入して両辺を平方すると、　cos²（α/２）＜(sin²（α/２）)/（α/２）²＜1

　　半角の公式から、　cos²（α/２）＜２（１−ｃｏｓα）/α²＜1

　　よって、両辺を２で割って、　（１/２）cos²（α/２）＜(1-cosα)/α^2＜１/２　が成り立つ。

(3)　αの値がきわめて小さいとき、　cosα→１　なので、　(sinα)/α→１

　同様に、　cos²（α/２）→１　なので、　(1-cosα)/α^2→１/２　である。



　　以下、工事中！