魔のトライアングル                 戻る

  左図のように、正三角形の頂点と各辺の中点にそれ
 ぞれ円が描かれている。

  第一問  6個の円上に相異なる整数を配置して、し
       かも、各辺の3つの整数の積が、いずれも
       2004 になるようにしたい。
        どうすればよいか?

  第二問  6個の円上に、1から6までの整数をすべ
       て配置して、しかも、各辺の3つの整数の和
       が、いずれも等しくなるようにしたい。
        どうすればよいか?





























(第一問の答) 2004=22×3×167 と素因数分解できるので、これら素因数を適当に
         分散させて配置すればよい。

  解は、回転と対称性を無視して、次の 11 通り。
  
    A=1 、B=2 、C=3 、X=2×167=334 、
    Y=22×167=668 、Z=2×3×167=1002
  
    A=1 、B=2 、C=2×3=6 、X=167 、
    Y=2×167=334 、Z=2×3×167=1002
 
    A=1 、B=2 、C=167 、X=2×3=6 、
    Y=22×3=12 、Z=2×3×167=1002
 
    A=1 、B=2 、C=2×167=334 、X=3 、
    Y=2×3=6 、Z=2×3×167=1002
  
    A=1 、B=3 、C=22=4 、X=167 、
    Y=3×167=501 、Z=22×167=668
  
    A=1 、B=3 、C=167 、X=22=4 、
    Y=22×3=12 、Z=22×167=668
  
    A=1 、B=3 、C=2×167=334 、X=2 、
    Y=2×3=6 、Z=22×167=668
  
    A=1 、B=22=4 、C=167 、X=3 、
    Y=22×3=12 、Z=3×167=501
  
    A=1 、B=2×3=6 、C=167 、X=2 、
    Y=22×3=12 、Z=2×167=334
   
    A=2 、B=3 、C=167 、X=22=4 、
    Y=2×3=6 、Z=2×167=334
 
    A=2 、B=2×3=6 、C=2×167=334 、
    X=1 、Y=3 、Z=167 

(第二問の答)

    一つの辺上の3つの整数の和をWとおくと、条件より、

           A+B+C=3(W−7)

   が成り立つ。 6≦A+B+C≦15 なので、9≦W≦12

    よって、W=9、10、11、12 の場合について調べれば

   よい。

W=9 のとき、

    A+B+C=6 なので、A=1 、B=2 、C=3 で、X=4 、Y=5 、Z=6

W=10 のとき、

    A+B+C=9 なので、A=1 、B=3 、C=5 で、X=2 、Y=4 、Z=6

    (A,B,C)=(1,2,6)、(2,3,4) の場合は不適。

W=11 のとき、

    A+B+C=12 なので、A=2 、B=4 、C=6 で、X=1 、Y=3 、Z=5

    (A,B,C)=(1,5,6)、(3,4,5) の場合は不適。

W=12 のとき、

    A+B+C=15 なので、A=4 、B=5 、C=6 で、X=1 、Y=2 、Z=3