当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和４年１月１日付け）
∠A=7π/9、∠B=∠C=π/9、AB=CA=1の二等辺三角形がある。
この三角形を使って、cos(π/9)cos(2π/9)cos(4π/9)の値を既約分数で表せ。
（答） ２等辺三角形を用いなくとも、次のように計算できますね。
Ｐ＝cos(π/9)cos(2π/9)cos(4π/9) とおくと、
Ｐ・８ｓｉｎ(π/9)
＝４ｓｉｎ(2π/9)cos(2π/9)cos(4π/9)＝２ｓｉｎ(4π/9)cos(4π/9)＝ｓｉｎ(8π/9)
ここで、 ｓｉｎ(π/9)＝ｓｉｎ(8π/9)≠０ なので、 Ｐ・８＝１ より、 Ｐ＝１/８
これに対して、「２等辺三角形を使って」という条件が付いているので、次のように解いて
みました。
上図より、 ＡＥ＝２cos(4π/9) 、ＡＤ＝２ＡＥcos(2π/9) 、ＡＢ＝２ＡＤcos(π/9) なので、
２［２｛２cos(4π/9)｝cos(2π/9)］cos(π/9)＝８cos(π/9)cos(2π/9)cos(4π/9)＝１
よって、 cos(π/9)cos(2π/9)cos(4π/9)＝１/８