当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。（平成２１年１２月１９日）
ある点から東西南北いずれの方向でもいいから、１進む。そこで直角に曲がり、２進む。さ
らに、そこで直角に曲がり、３進む。
これを繰り返していき、直角に曲がってから、４、５、６、７ の距離進んでいき、最後８の距
離進んだ時に元の出発点に戻るコースどり（前のコースは横切らないこと。）のパターンを調
べて下さい。（これを、位数８の散歩コースと呼ぶことにします。）
同じく、位数１６の散歩コース、位数２４の散歩コースでは何種類が可能かを調べて下さい。
何方か挑戦して頂けませんか？
（答） まだ、解答レベルにはなっていないが、考え方を模索してみた。
１、２、３、４、５、６、７、８ を、２つのグループ（奇数組、偶数組）に分け、「＋」「−」を
２個ずつ適切にそれらの数に付加して、それぞれのグループでの総和が ０ になるよう
にすればよい。
（例） 横軸グループ ： ＋１−３−５＋７＝０
縦軸グループ ： ＋２−４−６＋８＝０
上記のパターン以外に
横軸グループ ： ＋１−３−５＋７＝０ 、縦軸グループ ： −２＋４＋６−８＝０
横軸グループ ： −１＋３＋５−７＝０ 、縦軸グループ ： ＋２−４−６＋８＝０
横軸グループ ： −１＋３＋５−７＝０ 、縦軸グループ ： −２＋４＋６−８＝０
というパターンもあり、位数８の散歩コースは、４通りかな？
（コメント） 順列・組合せの計算で求められるような．．．予感！
上記の解について、横軸方向に関して対称なもの、縦軸方向に関して対称なものを同一
視すれば、
横軸グループ ： ＋１−３−５＋７＝０
縦軸グループ ： ＋２−４−６＋８＝０
の１通りが求めるものとなる。（平成２２年１月４日付け ＧＡＩ さんの結果を参考にした）
（実際の散策コースとしては、４通り×２＝８通り？）
次に、位数１６の散歩コースとしては、次の横軸グループからの１つと縦軸グループから
の１つを組み合わせればいいだろう。
横軸グループ
（Ｘ１） ＋１＋３−５−７−９−１１＋１３＋１５＝０
（Ｘ２） ＋１−３＋５−７−９＋１１−１３＋１５＝０
（Ｘ３） ＋１−３−５＋７＋９−１１−１３＋１５＝０
（Ｘ４） ＋１−３−５＋７−９＋１１＋１３−１５＝０
（Ｘ５） −１＋３＋５−７＋９−１１−１３＋１５＝０
（Ｘ６） −１＋３＋５−７−９＋１１＋１３−１５＝０
（Ｘ７） −１＋３−５＋７＋９−１１＋１３−１５＝０
（Ｘ８） −１−３＋５＋７＋９＋１１−１３−１５＝０
縦軸グループ
（Ｙ１） ＋２＋４＋６＋８−１０−１２−１４＋１６＝０
（Ｙ２） ＋２＋４＋６−８＋１０−１２＋１４−１６＝０
（Ｙ３） ＋２＋４−６＋８＋１０＋１２−１４−１６＝０
（Ｙ４） ＋２＋４−６−８−１０−１２＋１４＋１６＝０
（Ｙ５） ＋２−４＋６−８−１０＋１２−１４＋１６＝０
（Ｙ６） ＋２−４−６＋８＋１０−１２−１４＋１６＝０
（Ｙ７） ＋２−４−６＋８−１０＋１２＋１４−１６＝０
（Ｙ８） −２＋４＋６−８＋１０−１２−１４＋１６＝０
（Ｙ９） −２＋４＋６−８−１０＋１２＋１４−１６＝０
（Ｙ１０） −２＋４−６＋８＋１０−１２＋１４−１６＝０
（Ｙ１１） −２−４＋６＋８＋１０＋１２−１４−１６＝０
（Ｙ１２） −２−４＋６−８−１０−１２＋１４＋１６＝０
（Ｙ１３） −２−４−６＋８−１０＋１２−１４＋１６＝０
（Ｙ１４） −２−４−６−８＋１０＋１２＋１４−１６＝０
問題は、これらを組み合わせて、コースが交錯しないかどうかである。
例えば、（Ｘ１）（Ｙ１）は、
横軸グループ ： ＋１＋３−５−７−９−１１＋１３＋１５＝０
横軸グループ ： ＋２＋４＋６＋８−１０−１２−１４＋１６＝０
なので、
となり、求める解である。
しかるに、（Ｘ７）（Ｙ５）は、
横軸グループ ： −１＋３−５＋７＋９−１１＋１３−１５＝０
横軸グループ ： ＋２−４＋６−８−１０＋１２−１４＋１６＝０
なので、
となり、途中で線が交錯して、求める解にはならない。
一体、この差はどこから来るのだろうか？
以下、８×１４＝１１２の全パターンについて、一つ一つチェックしてみよう。
（Ｘ１）（Ｙ１）、（Ｘ１）（Ｙ４）、（Ｘ１）（Ｙ７）、（Ｘ１）（Ｙ８）、（Ｘ１）（Ｙ１１）、（Ｘ１）（Ｙ１４）は、解である。
（Ｘ１）（Ｙ２）、（Ｘ１）（Ｙ３）、（Ｘ１）（Ｙ５）、（Ｘ１）（Ｙ６）、（Ｘ１）（Ｙ９）、（Ｘ１）（Ｙ１０）、（Ｘ１）（Ｙ１２）、
（Ｘ１）（Ｙ１３）は、解でない。
また、（Ｘｍ）（Ｙｎ） （ｍ＝２、３、４ ｎ＝１、２、・・・、１３、１４） も、解でない。
ところで、 （Ｘ５）＝−（Ｘ４） 、（Ｘ６）＝−（Ｘ３） 、（Ｘ７）＝−（Ｘ２） 、（Ｘ８）＝−（Ｘ１）
（Ｙ８）＝−（Ｙ７） 、（Ｙ９）＝−（Ｙ６） 、（Ｙ１０）＝−（Ｙ５） 、（Ｙ１１）＝−（Ｙ４） 、
（Ｙ１２）＝−（Ｙ３） 、（Ｙ１３）＝−（Ｙ２） 、（Ｙ１４）＝−（Ｙ１）
であることに注意すると、
（Ｘ５）（Ｙ１）＝｛−（Ｘ４）｝｛−（Ｙ１４）｝ より、（Ｘ５）（Ｙ１）は、（Ｘ４）（Ｙ１４）とスタート地点に関
して点対称となるので、解にはならない。
同様にして、
（Ｘｍ）（Ｙｎ） （ｍ＝５、６、７ ｎ＝１、２、・・・、１３、１４） も、解にはならない。
（Ｘ８）（Ｙ１）は（Ｘ１）（Ｙ１４）と、（Ｘ８）（Ｙ４）は（Ｘ１）（Ｙ１１）と、（Ｘ８）（Ｙ７）は（Ｘ１）（Ｙ８）と、
（Ｘ８）（Ｙ８）は（Ｘ１）（Ｙ７）と、（Ｘ８）（Ｙ１１）は（Ｘ１）（Ｙ４）と、（Ｘ８）（Ｙ１４）は（Ｘ１）（Ｙ１）と、
それぞれスタート地点に関して点対称となるので、解になる。
それに対して、
（Ｘ８）（Ｙ２）、（Ｘ８）（Ｙ３）、（Ｘ８）（Ｙ５）、（Ｘ８）（Ｙ６）、（Ｘ８）（Ｙ９）、（Ｘ８）（Ｙ１０）、
（Ｘ８）（Ｙ１２）、（Ｘ８）（Ｙ１３）は、解にはならない。
以上から、位数１６の散歩コースは、次の１２通りである。
（Ｘ１）（Ｙ１）、（Ｘ１）（Ｙ４）、（Ｘ１）（Ｙ７）、（Ｘ１）（Ｙ８）、（Ｘ１）（Ｙ１１）、（Ｘ１）（Ｙ１４）、
（Ｘ８）（Ｙ１）、（Ｘ８）（Ｙ４）、（Ｘ８）（Ｙ７）、（Ｘ８）（Ｙ８）、（Ｘ８）（Ｙ１１）、（Ｘ８）（Ｙ１４）
上記の解について、横軸方向に関して対称なもの、縦軸方向に関して対称なものを同一
視すれば、
（Ｘ１）（Ｙ１） 、（Ｘ１）（Ｙ４） 、（Ｘ１）（Ｙ７）
の３通りが求めるものとなる。（平成２２年１月４日付け ＧＡＩ さんの結果を参考にした）
（コメント） 実際の散歩コースとしては、１２通り×２＝２４通りあるのかな？
次に、位数２４の散歩コースの考察に移ろう。
位数１６の散歩コースのときと同様に、次の横軸グループからの１つと縦軸グループから
の１つを組み合わせればよい。ただし、その中には、解になるものと解にならないものが共
存している。
横軸グループ
縦軸グループ
（コメント） これから手計算で解を探索するのですが、数が多すぎ．．．ですね。
平成２２年１月４日付けで、ＧＡＩ さんより、位数２４の散策コースの解をいただいた。
横軸方向に関して対称なもの、縦軸方向に関して対称なものを同一視して、６７通りある
とのことである。（ということは、実際の散策コースとしては、２６８通り×２＝５３６通り？）
プログラムを作って総当りの組み合わせで調べつくせば何とかなるのではないかと感じた
とのことで、コンピュータに詳しい方にプログラムを作成してもらい、正月の３日間働かし続
けられたそうです。（コンピューターはお雑煮もおせちも食べずに頑張ったとか．．．。）
思ったよりも多様なコースが構成できることが驚きで、そのコースが図形的に面白かった
とのこと。
本来だと、ＧＡＩさんの求められた解を図形として紹介すべきところですが、紙面に限りがあ
るので簡略化して紹介したいと思う。
（詳しい図は、当ＨＰの掲示板「出会いの泉」にてご覧下さい。）
掲示板投稿NUM： １、２、３、４、５、６、７、８、９、10、11、12、13、
14、15、16、17、18、19、20、21、22、23
（Ｘ1）（Ｙ3）、（Ｘ1）（Ｙ4）、、（Ｘ1）（Ｙ7）、（Ｘ1）（Ｙ12）、（Ｘ1）（Ｙ15）、（Ｘ1）（Ｙ17）、
（Ｘ1）（Ｙ18）、（Ｘ1）（Ｙ23）、（Ｘ1）（Ｙ24）、（Ｘ1）（Ｙ29）、（Ｘ1）（Ｙ30）、（Ｘ1）（Ｙ36）、
（Ｘ1）（Ｙ37）、（Ｘ1）（Ｙ39）、（Ｘ1）（Ｙ42）、（Ｘ1）（Ｙ47）、（Ｘ1）（Ｙ54）、（Ｘ1）（Ｙ55）、
（Ｘ1）（Ｙ58）、（Ｘ1）（Ｙ59）、（Ｘ1）（Ｙ62）、（Ｘ4）（Ｙ47）、（Ｘ4）（Ｙ54）、（Ｘ4）（Ｙ57）、
（Ｘ5）（Ｙ12）、（Ｘ5）（Ｙ14）、（Ｘ5）（Ｙ15）、（Ｘ5）（Ｙ18）、（Ｘ5）（Ｙ20）、（Ｘ5）（Ｙ27）、
（Ｘ5）（Ｙ29）、（Ｘ5）（Ｙ32）、（Ｘ5）（Ｙ35）、（Ｘ5）（Ｙ46）、（Ｘ5）（Ｙ47）、（Ｘ5）（Ｙ62）、
（Ｘ6）（Ｙ4）、（Ｘ6）（Ｙ8）、（Ｘ6）（Ｙ12）、（Ｘ6）（Ｙ15）、（Ｘ6）（Ｙ29）、（Ｘ6）（Ｙ32）、
（Ｘ6）（Ｙ37）、（Ｘ6）（Ｙ57）、（Ｘ6）（Ｙ62）、（Ｘ7）（Ｙ4）、（Ｘ8）（Ｙ18）、（Ｘ12）（Ｙ23）、
（Ｘ7）（Ｙ57）、（Ｘ7）（Ｙ62）、（Ｘ10）（Ｙ62）、（Ｘ12）（Ｙ15）、（Ｘ12）（Ｙ39）、（Ｘ12）（Ｙ54）、
（Ｘ12）（Ｙ57）、（Ｘ14）（Ｙ15）、（Ｘ14）（Ｙ39）、（Ｘ15）（Ｙ4）、（Ｘ15）（Ｙ16）、（Ｘ15）（Ｙ18）、
（Ｘ22）（Ｙ15）、（Ｘ24）（Ｙ12）、（Ｘ24）（Ｙ15）、（Ｘ24）（Ｙ32）、（Ｘ31）（Ｙ32）、（Ｘ32）（Ｙ4）、
（Ｘ32）（Ｙ47） 以上 ６７パターン
（コメント） 年越しのパズルが解決してスッキリしました。ＧＡＩ さんに感謝します。
また、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんが、プログラムを作って調べ
られた結果、以下のとおりになったとのことである。
位数 ８ ： １通り
位数 １６ ： ３通り
位数 ２４ ： ６７通り
位数 ３２ ： １２５９通り （実行時間：0.3秒）
位数 ４０ ： ４１３８１通り （実行時間：9秒）
位数 ４８ ：１６５１９２２通り （実行時間：12分半）
（コメント） 鮮やかです！らすかるさんに感謝します。