当ＨＰ読者のＨＮ「鼈甲」さんからの出題です。（平成２５年１月１２日付け）
１３を、ｎ＋２個用いて、１０ｎ を作るパズルを昔に考えました。
１０0 = 13/13 = (log13)/(log13)
１０1 = log(13√√13)/log(√√√13) (=（5/4)/(1/8))
１０2 = log(13√(13√√√13))/log(√√√√√√13) (=（25/16)/(1/64))
１０3 = log(13(13√√√13)^13)/log(√√√√√√13) (=（125/8)/(1/64))
１０4 = log(13√√√(13√(13√(13√√√√13))))/log(√√√√√√√√√√√√√13)
(=（625/512)/(1/8192))
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１０6 = (１０2)3 = (…4個…)^((13+13+13)/13)
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１０8 = (１０2)4 = (…4個…)^((13+13)(13+13)/(13*13))
１０9 = (１０3)3 = (…5個…)^((13+13+13)/(13+13-13))
さて、ｎ＝５、７ も作成可能でしょうか？
ｎ＝５ が可能なら、次がいえます。
１０10 = (１０5)2 = (…7個…)^((13+13+13-13)/13)
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２５年１月１２日付け）
logや√を使って良いのであれば、1以外の任意の同じ正数aを4個使って、
log(log(a)/log√√√…(√がN個)…√a)/log(log(a)/log√a)
＝log (２N)/log ２＝Ｎ
のようにすることで任意の自然数Nが作れます。
よって、「13を(n+2)個用いて１０nを作る」のは、任意のn≧2に対して作成可能となります。
具体的には、ｎ＝５ならば、
13+13+13+log(log13/log√√√…(√が(105-13×3）個)…√13)/log(log13/log√13)
ｎ＝７ならば、
13+13+13+13+13+log(log13/log√√√…(√が(107-13×5)個)…√13)/log(log13/log√13)
といった感じです。
（コメント） なるほど！らすかるさんの着想に感動しました。