当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２９年１１月５日付け）
(1+x+x2)n の展開式を b[0]+b[1]x+b[2]x2+・・・+b[2n]x2n とおくとき、
b[0]+b[3]+b[6]+・・・=b[1]+b[4]+b[7]+・・・=b[2]+b[5]+b[8]+・・・=3n-1
であることを示せ。ただし、n は正の整数とする。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２９年１１月６日付け）
x=ω（1の虚数3乗根の一つ）とすると、
0=(1+ω+ω2)n=(Σb[3k])+(Σb[3k+1])ω+(Σb[3k+2])ω2
A、B、Cが実数で、A+Bω+Cω2=0 のとき、ω2=-1-ω を代入して、
(A-C)+(B-C)ω=0 より、B≠C と仮定すると、ω=(C-A)/(B-C) で矛盾。
よって、A=B=C なので、 Σb[3k] = Σb[3k+1] = Σb[3k+2]
また、Σb[k] = (1+1+1)n = 3n なので、
Σb[3k] = Σb[3k+1] = Σb[3k+2] = (Σb[k])/3 = 3n-1
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２９年１１月６日付け）
これって、一般に、p を素数とするなら、
(1+x+x2+x3+･･･+xp-1)n=b[0]+b[1]x+b[2]x2+・・・+b[n(p-1)]xn(p-1)
とすると、
b[0]+b[p]+b[2p]+･･･
=b[1]+b[p+1]+b[2p+1]+･･･
=b[2]+b[p+2]+b[2p+2]+･･･
････････････････････
=b[p-1]+b[2p-1]+b[3p-1]+･･･
=pn-1
が成立しますね。
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２９年１１月６日付け）
参考：「On the expansion of the power of any polynomial」