オイラー氏を訪ねて                          戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんからの出題です。
                                        (平成26年3月13日付け)

 Σk=1〜n k=1+2+3+・・・+n=n(n+1)/2 であるが、Σk=1〜n 1/k=1+1/2+1/3+・・・+1/n となるの
で、一つの式で表すことが困難になる。

 今上の「k」の部分を、「sin2(kπ/2n)=(1-cos(kπ/n))/2」にしてみる。

 Σk=1〜n sin(π/n)cos(kπ/n)=(1/2)Σk=1〜n {sin((k+1)π/n)-sin((k-1)π/n)}=-sin(π/n)

より、 Σk=1〜n cos(kπ/n)=-1 とnに無関係に定まることから、

 Σk=1〜n sin2(kπ/2n)=(n-(-1))/2=(n+1)/2 即ち、 Σk=1〜n nsin2(kπ/2n)=n(n+1)/2

 そこで、 Σk=1〜n 1/(nsin2(kπ/2n)) について考えてみることにする。

 Σk=1〜n 1/(nsin2(kπ/2n)) は、一つの式で表せることを示し、

Σk=1〜100 1/(100sin2(kπ/200))の値を求めて下さい。

(参考) Σk=1〜100 1/k=14466636279520351160221518043104131447711
               /2788815009188499086581352357412492142272
              ≒5.18737751・・・





















(答) 工事中