次の空所には数字の １ 、２ 、３ 、４ 、５ 、６ 、７ 、８ 、９、10 の何れかがそれぞ
れ一つずつ入り、かつ、それぞれの円周上の３つの数字の和は一定になるようにしたい。
どのように数字を書き入れたらよいであろうか？
（答） 例えば、
他にも解はあるのかな？
らすかるさんが考察されました。解は６通りあるとのことです。らすかるさんに感謝します。
（平成２５年９月１６日付け）
内側の5個の和は、最小：1+2+3+4+5=15 で、最大：6+7+8+9+10=40 なので、それぞれの円
の3つの数字の和は、最小で、(55+15)÷5=14、最大で、(55+40)÷5=19
○ 和が14とすると、内側の5個は、(1,2,3,4,5)であり、10と同じ組は1と3しかない。6と同じ組
は3と5しかない。これで、3はもう使えない。すると、9と同じ組は1と4 これで、1はもう使え
ない。7と同じ組は2と5 で、8と同じ組は2と4 となり、次のように上手くいく。
(外+内+内) ： 6+3+5=14 、7+5+2=14 、8+2+4=14 、9+4+1=14 、10+1+3=14
○ 和が15とすると、内側の5個の和は、15*5-55=20 なので、次の7通りが考えられる。
(1,2,3,4,10)、(1,2,3,5,9)、(1,2,3,6,8)、(1,2,4,5,8)、(1,2,4,6,7)、(1,3,4,5,7)、(2,3,4,5,6)
しかし、何れの場合も外側の数（順に、5,6,9,7,3,2,1）に、どの2個を足しても15にならないの
で不適。
○ 和が16とすると、内側の5個の和は、16*5-55=25 なので、次の13通りが考えられる。
(1,2,3,9,10)、(1,2,4,8,10)、(1,2,5,7,10)、(1,2,5,8,9)、(1,2,6,7,9)、(1,3,4,7,10)、(1,3,4,8,9)、
(1,3,5,6,10)、(1,3,5,7,9)、(1,3,6,7,8)、(1,4,5,6,9)、(1,4,5,7,8)、(2,3,4,5,6)
しかし、(1,2,3,9,10)、(1,2,4,8,10)、(1,2,5,7,10)、(1,2,5,8,9)、(1,2,6,7,9)、(1,3,4,8,9)、(1,3,5,6,10)、
(1,3,6,7,8)、(1,4,5,6,9)、(1,4,5,7,8)、(2,3,4,5,6)
については、外側の数（順に、7,3,3,4,4,2,2,4,8,2,1）に、どの2個を足しても16にならないの
で不適。残る(1,3,4,7,10)と(1,3,5,7,9)は以下のように上手くいく。
(1,3,4,7,10)は、2+4+10=16、5+10+1=16、8+1+7=16、6+7+3=16、9+3+4=16、
(1,3,5,7,9)は、2+5+9=16、4+9+3=16、6+3+7=16、8+7+1=16、10+1+5=16
○ 和が17とすると、内側の5個の和は、17*5-55=30 なので、和が16の場合の結果をすべ
て11から引けばよい。すなわち、(1,3,4,7,10)→(10,8,7,4,1) 、(1,3,5,7,9)→(10,8,6,4,2)
(10,8,7,4,1)は、9+7+1=17、6+1+10=17、3+10+4=17、5+4+8=17、
(10,8,6,4,2)は、9+6+2=17、7+2+8=17、5+8+4=17、3+4+10=17、1+10+6=17
○ 和が19とすると、内側の5個の和は、19*5-55=40 なので、和が14の場合の結果を11か
ら引けばよい。すなわち、(1,2,3,4,5)→(10,9,8,7,6) で、このとき、
5+8+6=19、4+6+9=19、3+9+7=19、2+7+10=19、1+10+8=19
よって、解は回り順の違いと回転移動を同一視して、全部で（以下、外側の一つからどちら
か周りに順番）
14：6,5,7,2,8,4,9,1,10,3 16：2,10,5,1,8,7,6,3,9,4 16：2,9,4,3,6,7,8,1,10,5
17：9,1,6,10,3,4,5,8,2,7 17：9,2,7,8,5,4,3,10,1,6 19：5,6,4,9,3,7,2,10,1,8
の６通り。（※それぞれ奇数番目が外側、偶数番目が内側）