階乗の逆数和　 　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年８月２９日付け）

　Σ_n=0〜∞ 1/n!=1+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・・=e=2.71828・・・ である。そこで、

　　X=Σ_n=0〜∞ 1/(2n)!=1+1/2!+1/4!+1/6!+・・・

　　Y=Σ_n=0〜∞ 1/(3n)!=1+1/3!+1/6!+1/9!+・・・

　　Z=Σ_n=0〜∞ 1/(4n)!=1+1/4!+1/8!+1/12!+・・・

はそれぞれ何になるでしょう？
































（答）　らすかるさんが考察されました。（平成２５年８月２９日付け）

　Xは、　e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+… と　1/e=1/0!-1/1!+1/2!-1/3!+…　を足して２で割ったも

のなので、　(e+1/e)/2=1.54308063481524377847… です。

　あるいは、cosh(ｘ) の展開式から直ちに、cosh(1)=(e+1/e)/2 です。

　Yは、ω=(-1+i・)/2　（1の虚数立方根の一つ）とすると、　1+ω+ω²=0　ですから、

e=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+…　と　ｅ^ω=1/0!+ω/1!+ω²/2!+1/3!+ω/4!+ω²/5!+…　と

e^ω2=1/0!+ω²/1!+ω/2!+1/3!+ω²/4!+ω/5!+…　を足して３で割ったものなので、

　(e+e^ω+ e^ω2)/3={e+2cos(/2)/√e}/3=1.16805831337591852551…　です。

　Zは、Xに、　cos(1)=1/0!-1/2!+1/4!-1/6!+…　を足して２で割った {(e+1/e)/2+cos(1)}/2 なの

で、　(e+1/e+2cos(1))/4=1.04169147034169174793…　です。