当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２５年８月２６日付け）
[ ]記号をガウス記号として、 [√n+√(n+1)]=[√(4n+1)]
[√n+√(n+1)+√(n+2)]=[√(9n+8)] 、[√n+√(n+1)+√(n+2)+√(n+3)]=[√(16n+20)]
は、すべての自然数ｎでうまくいく。そこで、 [√n+√(n+1)+√(n+2)+√(n+3)+√(n+4)]
がうまくいく右辺の式を見つけてください。
さらに、[√n+√(n+1)+√(n+2)+√(n+3)+√(n+4)+√(n+5)] をすべての自然数ｎで成立させ
る式はできるでしょうか？もし不可能であれば、最も近似できる式を見つけてください。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２５年８月２７日付け）
調べたところ、
[√n+√(n+1)]=[√(4n+1)]=[√(4n+2)]=[√(4n+3)]
[√n+√(n+1)+√(n+2)]=[√(9n+7)]=[√(9n+8)]
[√n+√(n+1)+√(n+2)+√(n+3)]=[√(16n+20)]=[√(16n+21)]=…=[√(16n+24)]
[√n+√(n+1)+√(n+2)+√(n+3)+√(n+4)]=[√(25n+49)]
[√n+√(n+1)+√(n+2)+√(n+3)+√(n+4)+√(n+5)]=[√(36n+89-5/n)]
最後の一つは、[√(36n+88)]または[√(36n+89)]にすると、n=1、3のときだけ正しくありませ
んので、補正項を追加しました。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年８月２７日付け）
[√n+√(n+1)+√(n+2)+√(n+3)+√(n+4)+√(n+5)]
=[√(36n+88)]=[√(36n+89)]=[√(36n+90)]=・・・=√(36n+96)]
となりませんか？また、[√(36n+89-5/n)]の形にすると満足できるとは気付きませんでした。
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年８月２７日付け）
仰る通りです。平方数（mod 36）は、16の次は25なので、√(36n+96)までですね。そもそも
正しい値にならないので範囲をちゃんと考えていませんでした。√(36n+89)までしか頭になか
ったのは、簡単な評価で√n+√(n+1)+√(n+2)+√(n+3)+√(n+4)+√(n+5)＜√(36n+90) が言
えるためです。以下、続きです。
[√n+√(n+1)+√(n+2)+…+√(n+6)]=[√(49n+145-10/n)]
[√n+√(n+1)+√(n+2)+…+√(n+7)]=[√(64n+218-9/n)]
[√n+√(n+1)+√(n+2)+…+√(n+8)]=[√(81n+323-106/(n+2))]
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年８月２８日付け）
驚愕です。特に、最後の式などは凄いですね。
「323」を「324」とすると、n=8、13 で、「106」を「105」、「107」とすると、n=8、13 で、
「n+2」を「n」とすると、n=1、2、4 で、「n+2」を「n+1」とすると、n=1 で、
「n+2」を「n+3」とすると、n=8、13
で不成立なんですね〜！これらの微妙な違いを上手く調整できるなんて驚きです。
ということは、 [√n+√(n+1)+√(n+2)+…+√(n+9)] 、[√n+√(n+1)+√(n+2)+…+√(n+10)]
も可能性があるんですね。挑戦してみようと、あれこれやってみたのですが、
[√n+√(n+1)+√(n+2)+…+√(n+9)]=[√(100n+455-665/(n+20))]
で近づけたんですが、どうしても n=34、110、200 が取り除けません。また、
[√n+√(n+1)+√(n+2)+…+√(n+9)]=[√(100n+455-210/(n+2))]
では、n=82、110、200 がだめです。なんとかならないものだろうか？
気になったので、[√n+√(n+1)+√(n+2)+…+√(n+8)]/[√(81n+323-106/(n+2))] について、
ｎ=1〜1000000 の範囲に広げて計算してみたら、
n=142880、159197、191840、231357、235221、261117、262140、263165、264192、286221、
297021、301397、328325、364812、431645、438240、560997、594437、627260、753420、
851925、889245、986045
の部分でずれが出ました。また、[√n+√(n+1)+√(n+2)+…+√(n+6)]=[√(49n+145-10/n)]
において、n=75622;1925/1924 の結果ではないでしょうか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年８月２８日付け）
計算の誤差の問題だと思います。例えば、ｎ=142880のとき、
√n+√(n+1)+√(n+2)+…+√(n+8)=3401.9999998611…
√(81n+323-106/(n+2))=3401.9998529185…
ですから、ともに3401となり一致します。[3401.9999998611…] が3402になるとは、ずいぶん
精度が悪いものをお使いのようですね。ExcelでもWindowsの電卓でも3401になりますよ。
どの式も、計算が合うように調整して導出した式ではなく、式の変形などによって論理的に
導出した式ですから、成り立たないはずはないと思います。精度を上げて確認して下さい。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２５年８月２８日付け）
らすかるさんのご指摘にハットと気づき、小数点以下２０桁くらい表示させて画面を見てい
たので、見にくくなり、途中に表示桁数を変更して計算を繰り返していたので、それの数値を
表示することなく、結果的に異なる部分のデータだけを出力することだけでチェックしていた
ので間違った判断をしてしまいました。表示桁を元に戻して、再チェックしたらすべてクリアー
しました。丸め誤差に丸め込まれていました。たいへん失礼いたしました。
らすかるさんからのコメントです。（平成２５年８月２８日付け）
丸め誤差は忘れがちですよね。私もずいぶん昔に丸め誤差に丸め込まれたことが（ほとん
ど記憶にありませんが、多分）何度もあり、それに懲りて自作電卓は常に約80桁表示(桁数
は指定を変えれば増やせる)にしています。丸め誤差に丸め込まれる可能性をなくすために
は、常に少なくとも30桁程度の精度で計算する必要があると思います。
ところで、 √n+√(n+1)+√(n+2)+…+√(n+9) は、例えば、
[√n+√(n+1)+√(n+2)+…+√(n+9)]=[√(100n+450-205/(n+4))]
とすればうまくいきますね。「例えば」というのは、他に
[√(100n+450-204/(n+3))] 、[√(100n+450-206/(n+5))] 、[√(100n+450-207/(n+6))]
でも同じ結果が得られるからです。