ｎ乗和の逆数和　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２５年８月２５日付け）

　A=Σ_k=1〜∞ 1/(1+2+3+・・・+k)　の値を求めるのに、

与式=Σ_k=1〜∞ 2/k(k+1)=2Σ_k=1〜∞ (1/k-1/(k+1))=2lim_n→∞(1-1/(n+1))=2

と考えられるんですが、では、次の３つはどんな値になるのでしょうか？

　B=Σ_k=1〜∞ 1/(1²+2²+3²+・・・+k²)

　C=Σ_k=1〜∞ 1/(1³+2³+3³+・・・+k³)

　D=Σ_k=1〜∞ 1/(1⁴+2⁴+3⁴+・・・+k⁴)





























（答）　らすかるさんが考察されました。（平成２５年８月２５日付け）

　「Wolframalpha」で計算したところ、

　　B=6(3-4log2)=1.364467666561312573986429085003…

　　C=4(π²-9)/3=1.159472534785811491779321333168…

　　D=30{7-14γ-8ψ(3/2)-3ψ((9-√21)/6)-3ψ((9+√21)/6)}/7
　　　=1.073831213339227762189758808006…

となるらしいです。ただし、γはオイラーの定数、ψ(x)はディガンマ関数。


　Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２５年８月２６日付け）

　Ｅ=Σ_k=1〜∞ 1/(1⁵+2⁵+3⁵+・・・+k⁵)=60-4π²+8πTan[π/2]

を得ましたが、「Wolframalpha」に何を挿入したら

　D=30{7-14γ-8ψ(3/2)-3ψ((9-√21)/6)-3ψ((9+√21)/6)}/7

が得られますか?


　らすかるさんからのコメントです。（平成２５年８月２６日付け）

　Ｅ=60-4π²+8πTan[π/2]について、「Wolframalpha」で確認したところ、合ってまし
た。ただ、普通に入れたらタイムアウトしてしまって、確認が大変でした。また、Ｄについては
普通に、「Wolframalpha」に

　　sum 30/(n*(n+1)*(2*n+1)*(3*n^2+3*n-1)),n=1,inf

と入れました。