n乗和の逆数和                             戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「GAI」さんからの出題です。
                                      (平成25年8月25日付け)

 A=Σk=1〜∞ 1/(1+2+3+・・・+k) の値を求めるのに、

与式=Σk=1〜∞ 2/k(k+1)=2Σk=1〜∞ (1/k-1/(k+1))=2limn→∞(1-1/(n+1))=2

と考えられるんですが、では、次の3つはどんな値になるのでしょうか?

 B=Σk=1〜∞ 1/(12+22+32+・・・+k2)

 C=Σk=1〜∞ 1/(13+23+33+・・・+k3)

 D=Σk=1〜∞ 1/(14+24+34+・・・+k4)





























(答) らすかるさんが考察されました。(平成25年8月25日付け)

 「Wolframalpha」で計算したところ、

  B=6(3-4log2)=1.364467666561312573986429085003…

  C=4(π2-9)/3=1.159472534785811491779321333168…

  D=30{7-14γ-8ψ(3/2)-3ψ((9-√21)/6)-3ψ((9+√21)/6)}/7
   =1.073831213339227762189758808006…

となるらしいです。ただし、γはオイラーの定数、ψ(x)はディガンマ関数。


 S(H)さんからのコメントです。(平成25年8月26日付け)

 E=Σk=1〜∞ 1/(15+25+35+・・・+k5)=60-4π2+8πTan[π/2]

を得ましたが、「Wolframalpha」に何を挿入したら

 D=30{7-14γ-8ψ(3/2)-3ψ((9-√21)/6)-3ψ((9+√21)/6)}/7

が得られますか?


 らすかるさんからのコメントです。(平成25年8月26日付け)

 E=60-4π2+8πTan[π/2]について、「Wolframalpha」で確認したところ、合ってまし
た。ただ、普通に入れたらタイムアウトしてしまって、確認が大変でした。また、Dについては
普通に、「Wolframalpha」に

  sum 30/(n*(n+1)*(2*n+1)*(3*n^2+3*n-1)),n=1,inf

と入れました。