当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんからの出題です。
（平成２４年１１月２２日付け）
Σk=1〜n 1/{k(k+1)(k+3)} を求めよ。
（答） Ｓ（Ｈ）さんが考察されました。（平成２４年１１月２２日付け）
n=1なら、1/(1・2・4)=1/8
汗を かいて みた；
{1/8, 19/120, 31/180, 113/630, 185/1008, 563/3024, 203/1080, 281/1485, 251/1320,655/3432,
209/1092, 1571/8190, 1937/10080, 4711/24480, 1415/7344, 1682/8721, 3961/20520}
空舟さんからのコメントです。（平成２４年１１月２２日付け）
なるほど、このような単体問題はなかなか見ないですが良いですね。答えは整理すると 、
(7n3+42n2+59n)/36(n+1)(n+2)(n+3)
ですね。
ＧＡＩ さんが考察されました。（平成２４年１１月２２日付け）
1/{k(k+1)(k+3)}=(k+2)/{k(k+1)(k+2)(k+3)}=[2/{k(k+1)(k+2)}+1/{(k+1)(k+2)(k+3)}]/3
ここに、[ ]内第１項は、2/{k(k+1)(k+2)}=1/{k(k+1)}-1/{(k+1)(k+2)} から和をとると、
1/2-1/{(n+1)(n+2)}
また、第２項は、1/{(k+1)(k+2)(k+3)}=[1/{(k+1)(k+2)}-1/{(k+2)(k+3)}]/2 から和をとると、
[1/6-1/{(n+2)(n+3)}]/2
以上から求める和は、
[1/2-1/{(n+1)(n+2)}+1/12-1/{2(n+2)(n+3)}]/3
=[7/12-(3n+7)/{2(n+1)(n+2)(n+3)}]/3
=[7(n+1)(n+2)(n+3)-6(3n+7)]/{12(n+1)(n+2)(n+3)}]/3
=n(7n2+42n+59)/{36(n+1)(n+2)(n+3)}
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年１１月２２日付け）
もうすこし先に伸ばし、Σk=1〜n 1/{k(k+1)(k+3)(k + 6)(k + 10)} のパターンがよい問題?
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１１月２２日付け）
PARI/GPで計算しました。
1/8 、19/120 、31/180 、113/630 、185/1008 、563/3024 、203/1080 、
281/1485 、251/1320 、655/3432
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年１１月２２日付け）
微分積分の基本定理とパラレルに差分和分の基本定理が知られている。
和分したければ、原始数列Aを求め、A(k+1)-A(k)=a(k) から A(n+1)-A(1) が求められる。
例 A(k+1)-A(k)=1/(k(k+1)(k+3))
原始数列 A ： A(k)=(23k3+69k2+10k-48)/(72k(k+1)(k+2)) を求め、
A(n+1)-A(1)=(23(n+1)3+69(n+1)2+10(n+1)-48)/(72(n+1)(n+2)(n+3))-1/8 （終）
（→ 参考）
(7n3+42n2+59n)/36(n+1)(n+2)(n+3) 以外にも様々な表示の仕方があり、どれがお気に入
りでしょうか。（一番心のこもった表現は？)
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２４年１１月２３日付け）
上記の A(k)=(23k3+69k2+10k-48)/(72k(k+1)(k+2)) はどのようにして求められているんで
すか？漸化式からA(k)の具体的な式を求める手続き、および計算機を利用するならどんな命
令文で可能なのですか？初心者にも分かり易い解説でお願いします。
（→ Ｓ（Ｈ）さんより回答（平成２４年１１月２３日付け））