複素数の和　 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（平成２４年２月１１日付け）

　 次の和を求めよ。ただし、ｉ は、虚数単位とする。

　　　��_k=1〜8 (１−ｉ)^k-1




































（答）　 １５ｉ

　空舟さんからのコメントです。（平成２４年２月１２日付け）

　自然に等比級数と考えると（有限和の公式は記憶はあやしいが導出は容易）、

　１−ｉ＝（ｃｏｓ（−π/４）＋ｉ・ｓｉｎ（−π/４））＝ｅ^-πi/4 という風に極形式を利用して、

　　(１−ｉ)⁸＝１６　なので、与式＝｛１−(１−ｉ)⁸｝ /｛ １−(１−ｉ)｝＝（ 1-16） / ｉ ＝ １５ｉ

（※）　極形式は、最初は cosθ＋ｉ・sinθ と習いますが、ｅ^iθ の表記を知ると、ド・モアブル
　　　の式が指数法則に対応してもう当たり前に思ってしまいます..。
　　　(その背景には複素関数論があるわけですけれど)

（コメント）　(１−ｉ)^k-1　（ｋ＝１、２、・・・、８）のわずか８項の和の計算なので、

　　　　　「(１−ｉ)²＝−２ｉ　」という特徴を用いて、

　　　��_k=1〜8 (１−ｉ)^k-1

　　＝１＋(１−ｉ)＋(１−ｉ)²＋(１−ｉ)³＋(１−ｉ)⁴＋(１−ｉ)⁵＋(１−ｉ)⁶＋(１−ｉ)⁷

　　＝１＋(１−ｉ)＋(−２ｉ)＋(−２−２ｉ)＋(−４)＋(−４＋４ｉ)＋(８ｉ)＋(８＋８ｉ)＝１５ｉ

　東大等の難関大学に入る生徒は、上記のように地道に計算できる力を有しているように
思う。空舟さんのような解答ができるのは、受験とは無関係に数学が遊べるときになってか
らかな？