当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２６年１０月１日付け）
一辺が15cmの正方形の四隅から、合同な正方形を切り取った残りでふたのない直方体を
作ったら、その容積が250cm3になった。切り取った一辺の長さを求めよ。
（答） よおすけさんから解答を頂きました。（平成２６年１０月６日付け）
切り取る一辺の長さを ｘ cmとすると、問題文より、 ｘ(15-2ｘ)(15-2ｘ)=250 ・・・(1)
すなわち、 ｘ(15-2ｘ)2=250 ・・・・・・(2)
ただし、 ｘ＞0、15-2ｘ＞0 から、 0＜ｘ＜15/2 ・・・(3)
(2)を整理して、 4ｘ3-60ｘ2+225ｘ-250=0 ・・・・(4)
(4)を解くと、 ｘ=5/2(重解)、10
(3)より、 ｘ=10 は条件に合わないので捨てる。よって、ｘ=5/2
したがって、切り取る一辺の長さは、5/2(cm)
多項式の微分を用いたものも挙げておきます。
切り取る一辺の長さを ｘ cmとおくと、ｘ＞0、15-2ｘ＞0 より、 0＜ｘ＜15/2
この容積をP(x)(cm3)とおくと、問題文より、
P(ｘ)=ｘ(15-2ｘ)2=4ｘ3-60ｘ2+225ｘ
P(ｘ)を微分して、P’(ｘ)=12ｘ2-120ｘ+225=3(4ｘ2-40ｘ+75)=3(2ｘ-5)(2ｘ-15)
0＜ｘ＜15/2では、ｘ=5/2 のとき、P(ｘ)の値は最大になる。
この最大値は、P(5/2)=250
したがって、箱の容積を最大値の250(cm3)にするには、切り取る一辺の長さを、5/2(cm)
にすればよい。
らすかるさんからのコメントです。（平成２６年１０月６日付け）
（別解） 相加相乗平均から、
4ｘ(15-2ｘ)(15-2ｘ)≦{{4ｘ+(15-2ｘ)+(15-2ｘ)}/3}3=1000 なので、
ｘ(15-2ｘ)(15-2ｘ)≦250
等号は、 4ｘ=15-2ｘ すなわち、ｘ=5/2 のときなので、求める答えは、ｘ=5/2(cm)
（コメント） らすかるさんの相加相乗平均を用いた解法は斬新ですね！