正方形を重ねる                            戻る

 同じ大きさの2枚の正方形がある。1つの正方形の上に、もう一方の正方形を任意に重
ねる。ただし、各辺は互いに2点で交わるものとする。

              

 このとき、この正方形上の1点に針を刺して、その点の周りに2枚の正方形を回転させる
と、ぴったり重なるという。このような点を求めよ。
























(答) 次のような点が求めるものである。

   

(参考文献:田村三郎 著  数学パズルランド (講談社))

(追記) 上記の点の求め方を検証してみよう。

   このような点Oが存在したものとする。
  このとき、△AOB と △A’OB’において、
       OA=OA’
       OB=OB’
       AB=A’B’
  したがって、
       △AOB ≡ △A’OB’
  よって、
       ∠OAP=∠OA’P
  このとき、
   4点 O、A、A’、P は同一円周上にある。
  ところで、
       ∠SAP=∠SA’P=∠R
  より、
   4点 S、A、A’、P は同一円周上にある。

 一つの円は、3点で唯一つに定まるので、2つの円は同じ円である。
したがって、5点 O、S、A、A’、P は同一円周上にある。

 円に内接する四角形 OSA’P において、
           ∠SA’P=∠R なので、∠SOP=∠R
同様にして、∠POQ=∠QOR=∠ROS=∠R であることが分かる。

 よって、3点 P、O、R かつ 3点 S、O、Q は一直線上にあるので、点 O は、2直線PR
とSQの交点となる。