当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和４年１２月１日付け）
次の２つの条件： ｚ
＝１、（ｚ＋ｉ）3 が実数 が同時に成り立つ複素数 z の値を求めよ。ただし、i は虚数単位を表す。
（答） −ｉ 、（±
＋ｉ）/２実際に、 ｚ＝ｘ＋ｉ・ｙ （ｘ、ｙは実数） とおくと、
題意より、 ｘ2＋ｙ2＝１ で、
（ｘ＋ｉ・（ｙ＋１））3＝ｘ3−３ｘ（ｙ＋１）2＋ｉ・（３ｘ2（ｙ＋１）−（ｙ＋１）3） が実数より、
３ｘ2（ｙ＋１）−（ｙ＋１）3＝０ すなわち、 ｙ＋１＝０ または、 ３ｘ2−（ｙ＋１）2＝０
ｙ＋１＝０ のとき、 ｙ＝−１ で、このとき、 ｘ＝０ よって、 ｚ＝−ｉ
３ｘ2−（ｙ＋１）2＝０ のとき、 ４ｙ2＋２ｙ−２＝０ すなわち、 ２ｙ2＋ｙ−１＝０
（２ｙ−１）（ｙ＋１）＝０ を解いて、 ｙ＝１/２ 、 −１
ｙ＝１/２ のとき、 ｘ＝±
/２ で、このとき、 ｚ＝（±＋ｉ）/２ｙ＝−１ のとき、 ｘ＝０ で、よって、 ｚ＝−ｉ
以上から、求める解は、 −ｉ 、（±
＋ｉ）/２ である。よおすけさんから別解をいただきました。（令和４年１２月１２日付け）
(z+i)^3 が実数なので、(ｚ＋ｉ)^3＝(
−ｉ)^3これを展開して、 ｚ^3＋３ｚ^2・ｉ−３ｚ−ｉ＝
^3−３^2・ｉ−３＋ｉ より、（ｚ−
）^3＋３ｚ（ｚ−）＋３ｉ・（ｚ−）^2＋６ｉ・ｚ−３（ｚ−）−２ｉ＝０条件より、 ｚ
＝１ なので、 （ｚ−）^3＋３ｉ・（ｚ−）^2＋４ｉ＝０ となる。因数分解して、 （ｚ−
−ｉ）（ｚ−＋２ｉ）^2＝０ より、ｚ−
＝ｉ または、−２ｉ（重解）ｚ−
＝ｉ 、ｚ＝１ となる z は、 ｚ^2−ｉ・ｚ−１＝０ より、ｚ＝（ｉ±）/２ｚ−
＝−２ｉ 、ｚ＝１ となる z は、 （ｚ＋ｉ）^2＝０ より、 ｚ＝−ｉ（コメント） 別解、ありがとうございます。ｚ のままでも解けるんですね！勉強になりました。
以下、工事中！