当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２７年５月３０日付け）
ａ が x3-x-1=0 の解であるとき、ａ2、ａ3、ａ4 を解とする整数係数の3次方程式をそれぞれ
一つずつ求めて下さい。
計算を厭わなければ、それに続く ａ5、ａ6、･･･、ａ10 も挑戦願う。
（答） らすかるさんが考察されました。（平成２７年５月３０日付け）
x3-x-1=0 より、(x3-x-1)2+2(x3-x-1)=0 すなわち、 x6-2x4+x2-1=0 なので、
(x2)3-2(x2)2+(x2)-1=0 よって、a2が解である三次方程式は、x3-2x2+x-1=0
同様にして、(x3-x-1)3=x9-3x6+2x3-1 から、a3が解である三次方程式は、x3-3x2+2x-1=0
(x3-2x2+x-1)2=x6-2x4-3x2-1 から、a4が解である三次方程式は、x3-2x2-3x-1=0
この方法だと次数が上がるにつれてどんどん大変になるので、方法を変えて、まず下準備
x^3=x+1
x^4=x^2+x
x^5=x^3+x^2=x^2+x+1
x^6=x^3+x^2+x=x^2+2x+1
x^7=x^3+2x^2+x=2x^2+2x+1
x^8=2x^3+2x^2+x=2x^2+3x+2
x^9=2x^3+3x^2+2x=3x^2+4x+2
x^10=3x^3+4x^2+2x=4x^2+5x+3
x^11=4x^3+5x^2+3x=5x^2+7x+4
x^12=5x^3+7x^2+4x=7x^2+9x+5
x^13=7x^3+9x^2+5x=9x^2+12x+7
x^14=9x^3+12x^2+7x=12x^2+16x+9
x^15=12x^3+16x^2+9x=16x^2+21x+12
x^16=16x^3+21x^2+12x=21x^2+28x+16
x^17=21x^3+28x^2+16x=28x^2+37x+21
x^18=28x^3+37x^2+21x=37x^2+49x+28
x^19=37x^3+49x^2+28x=49x^2+65x+37
x^20=49x^3+65x^2+37x=65x^2+86x+49
x^21=65x^3+86x^2+49x=86x^2+114x+65
x^22=86x^3+114x^2+65x=114x^2+151x+86
x^23=114x^3+151x^2+86x=151x^2+200x+114
x^24=151x^3+200x^2+114x=200x^2+265x+151
x^25=200x^3+265x^2+151x=265x^2+351x+200
x^26=265x^3+351x^2+200x=351x^2+465x+265
x^27=351x^3+465x^2+265x=465x^2+616x+351
x^28=465x^3+616x^2+351x=616x^2+816x+465
x^29=616x^3+816x^2+465x=816x^2+1081x+616
x^30=816x^3+1081x^2+616x=1081x^2+1432x+816
そして、a2が解である方程式は、
x^6=x^2+2x+1 、x^4=x^2+x 、x^2=x^2
の3式から、x^2とxの項を消去して、x^6-2x^4+x^2-1=0 なので、x^3-2x^2+x-1=0
a^3が解である方程式は、
x^9=3x^2+4x+2 、x^6=x^2+2x+1 、x^3=x+1
の3式からx^2とxの項を消去して、x^9-3x^6+2x^3-1=0 なので、x^3-3x^2+2x-1=0
a^4が解である方程式は、
x^12=7x^2+9x+5 、x^8=2x^2+3x+2 、x^4=x^2+x
の3式からx^2とxの項を消去して、x^12-2x^8-3x^4-1=0 なので、x^3-2x^2-3x-1=0
a^5が解である方程式は、
x^15=16x^2+21x+12 、x^10=4x^2+5x+3 、x^5=x^2+x+1
の3式からx^2とxの項を消去して、x^15-5x^10+4x^5-1=0 なので、x^3-5x^2+4x-1=0
a^6が解である方程式は、
x^18=37x^2+49x+28 、x^12=7x^2+9x+5 、x^6=x^2+2x+1
の3式からx^2とxの項を消去して、x^18-5x^12-2x^6-1=0 なので、x^3-5x^2-2x-1=0
a^7が解である方程式は、
x^21=86x^2+114x+65 、x^14=12x^2+16x+9 、x^7=2x^2+2x+1
の3式からx^2とxの項を消去して、x^21-7x^14-x^7-1=0 なので、x^3-7x^2-x-1=0
a^8が解である方程式は、
x^24=200x^2+265x+151 、x^16=21x^2+28x+16 、x^8=2x^2+3x+2
の3式からx^2とxの項を消去して、x^24-10x^16+5x^8-1=0 なので、x^3-10x^2+5x-1=0
a^9が解である方程式は、
x^27=465x^2+616x+351 、x^18=37x^2+49x+28 、x^9=3x^2+4x+2
の3式からx^2とxの項を消去して、x^27-12x^18-7x^9-1=0 なので、x^3-12x^2-7x-1=0
a^10が解である方程式は、
x^30=1081x^2+1432x+816 、x^20=65x^2+86x+49 、x^10=4x^2+5x+3
の3式からx^2とxの項を消去して、x^30-17x^20+6x^10-1=0 なので、x^3-17x^2+6x-1=0
・・・・・ このようにすれば手計算でできますね。
Ｓ（Ｈ）さんから、コメントをいただきました。（平成２７年５月３０日付け）