当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２５年４月２４日付け）
３次方程式 x3＋ax2＋(a2−６)x＋b＝０ が相異なる３実数解をもち、それぞれの逆数も
またこの方程式を満足しているという。この方程式を解け。（出典：1976年 新潟大学）
（答） 当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんが考察されました。
（平成２５年４月２４日付け）
相異なる３実数解で逆数も方程式を満足するので、1つの解は、±1で、他の解は、cと1/c
(x干1)(x-c)(x-1/c)=x3-(c+1/c±1)x2±(c+1/c±1)x干1 なので、 a=干(a2-6) 、 b=干1
よって、a=干3、±2 となるが、a=干3 のとき、３重解となり不適なので、 (a，b)=(±2，干1)
（ここまですべて複号同順）
(a，b)=(2，-1) のとき、 x=1、(-3±
)/2(a，b)=(-2，1) のとき、 ｘ=-1、(3±
)/2よおすけさんからのコメントです。（平成２５年４月２４日付け）
解答ありがとうございます。因みに、解と係数との関係を用いると・・・、
３つの解をα、β、γとすると、α+β+γ=-a、／αβ+βγ+γα=a2-6、αβγ=-b・・・(1)
また、α,β,γのそれぞれの逆数もこの方程式の解だから、
(1/α)+(1/β)+(1/γ)=-a、(1/αβ)+(1/βγ)+(1/γα)=a2-6、(1/(αβγ))=-b より
{(αβ+βγ+βα)/(αβγ)}=-a、{(α+β+γ)/(αβγ)}=a2-6、{1/(αβγ)}=-b・・・(2)
(1)を(2)に代入して、 {(a2-6)/-b}=-a、(-a/-b)=a2-6、b2=1
よって、a2-6=ab、b=1、-1・・・・(3)
(3)で、b=1のとき、 a2-6=a を解いて、 a=-2、3
a=-2、b=1のとき、もとの方程式は、x3-2x2-2x+1=0
これを解いて、ｘ=-1、(3±
)/2a=3、b=1のとき、もとの方程式は、x3+3x2+3x+1=0
これを解いて、x=-1(重解)となり不適
(3)で、b=-1のとき、 a2-6=-a を解いて、 a=2、-3
a=2、b=-1のとき、もとの方程式は、x3+2x2-2x-1=0
これを解いて、x=1、(-3±
)/2a=-3、b=-1のとき、もとの方程式は、x3-3x2+3x-1=0
これを解いて、x=1(重解) となり不適
まとめて、x=1、(-3±
)/2 または ｘ=-1、(3±)/2当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「Ｓ（Ｈ）」さんからのコメントです。
（平成２５年４月２４日付け）
題意から、 (1) a2x+ax2+b+x3-6x=a2x2+ax+bx3-6x2+1 より、
a=-2、b=1 または a=2、b=-1
(2) a2x+ax2+b+x3-6x=-a2x2-ax-bx3+6x2-1 より、
a=-3、b=-1 または a=2、b=-1
から相異なる解を持つのを採用すればよい。
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「空舟」さんからのコメントです。
（平成２５年４月２４日付け）
これって最近話題に出た相反方程式ってやつですね！
f(x)= x3＋ax2＋(a2−６)x＋b とおくと、方程式 f(1/x)=0 も同じ３つの解をもつ。すなわち、
bx3 + (a2-6)x + ax2 + 1 は、f(x)の定数倍である。
（そうは言ってもこのあとの考察はすでに回答された考察とだいたい同じになりますね．．．
結局、そのあとは b=1、a=a2-6 または b=-1、 -a=a2-6 ・・・(*) を考察することになり、そ
の考察はすでに回答された考察で述べられているが、(*)を導出する過程が微妙にちがった
ということです）
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２５年４月２５日付け）
上記の解は、空舟さんも言及されていますが、次からの発想です。
(1) a2x+ax2+b+x3-6x=a2x2+ax+bx3-6x2+1 が任意の複素数xについて成立するので、
両辺を３回微分し、 6=6b から、b=1 等、お気に入りの発想で．．．。