当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和４年３月１日付け）
無限数列{a_n}、{b_n}に関し、次の事がらはつねに正しいか。正しくないときはその反例を
示せ。
(1) lim[n→∞]a_n=a、lim[n→∞]b_n=b ならば、lim[n→∞]b_n/a_n=b/a
(2) lim[n→∞]a_n=a、lim[n→∞]b_n=b、a_n＞b_n ならば、a＞b
(3) lim[n→∞]a_n=∞、lim[n→∞]b_n=0 ならば、 lim[n→∞](a_n)(b_n)=0
(4) lim[n→∞]a_n=∞、lim[n→∞]b_n=-∞ ならば、 lim[n→∞](a_n)(b_n)=-∞
(5) lim[n→∞]a_n=∞、lim[n→∞]b_n=∞ ならば、 lim[n→∞](a_n-b_n)=0
（答）
(1) 偽 （反例） a_n=1/n、b_n=1
(2) 偽 （反例） a_n=1+1/n、b_n=1-1/n
(3) 偽 （反例） a_n=n^2、b_n=1/n
(4) 真
(5) 偽 （反例） a_n=n^2、b_n=n
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年３月１日付け）
複素数なら（４）の反例はどないやろと考えてはみましたけれども、鼠一匹獲れませんでし
た。
DD++さんからのコメントです。（令和４年３月２日付け）
lim[n→∞]a_n=∞ を lim[n→∞]Re(a_n)=∞ かつ lim[n→∞]Im(a_n)=0 と解釈して、みたい
な話なのであれば、
a_n = n^2+(1/n)i 、b_n = -n^2-(1/n)i
とか？
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年３月３日付け）
はい、そのような解釈にて、（４）の反例が作れるのかどうか試しましたが、無理だと思いま
した。
DD++さんからのコメントです。（令和４年３月３日付け）
あれ？その意味での反例を提示したつもりだったんですが、これがダメってことは何か話
が食い違ってますね。-∞ も実部が -∞ で虚部が 0 と定義しているという理解でいいんです
よね？
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年３月３日付け）
DD++さん、私の舌足らずでした。私が「はい、そのような解釈にて、 （４）の反例が作れる
のかどうか試しましたが無理だと思いました。」と申したのは、「複素数なら（４）の反例はど
ないやろと考えてはみましたけれども、鼠一匹獲れませんでした。」ともあわせて、「虚部が
0に収束する」という解釈をとっていましたと、お伝えしたかったのです。そして、【私には】反
例がみつけられなかったと。実際には、DD++ さんがおっしゃるように反例があるのですね。
ご教示をありがとうございました。また、舌足らずをお詫びいたします。
よおすけさんからのコメントです。（令和４年３月４日付け）
（参考） (2)の事がらで、a_nとb_nおよびaとbの不等号の向きが逆の場合も挙げておきます
lim[n→∞]a_n=a、lim[n→∞]b_n=b、a_n＜b_n ならば、a＜b → 偽
（コメント） （反例） a_n=1-1/n、b_n=1+1/n より、偽ですね。
あと、DD++さんのあげられた「a_n = n^2+(1/n)i 、b_n = -n^2-(1/n)i」が(4)の反例
になっているというのが、よく分からないのですが、DD++さん、ご教示いただければ
幸いです。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年３月７日付け）
上記について、補足です。
c_n ＝ (a_n)*(b_n)＝ (n^2 +(1/n)i)*(-n^2 -(1/n)i)＝ (-n^4 +1/n^2 ) -(2*n)i において、
n→∞ のときに、 c_n の虚部の係数が 0 に収束しないので、ということとなります。
※私と DD++ さんとは、 虚部が 0 になれば許容しようという了解のもとで、複素数の数列の
∞ や -∞ への発散と捉える文脈でお話しておりました。
DD++さんからのコメントです。（令和４年３月７日付け）
Dengan kesaktian Indukmu さん、代わりにご説明くださりありがとうございます。
Dengan kesaktian Indukmu さんからのコメントです。（令和４年３月８日付け）
DD++さん、いえいえ、元はといえば反例になっていることを私がきちんと受け止めて具体
的な応答をすればよかっただけのことです。私に反例がみつけられなかった原因とともに、
です。
恥ずかしながら、正の無限に発散する数列と 負の無限に発散する数列の積として定義さ
れる数列が、正の無限に発散することがおきたら面白いという、おバカな妄想のみに囚わ
れていて、他の可能性（虚部が０に収束しない）があることを全く失念していたのでした。
以下、工事中！