当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和４年２月１日付け）
a_1＝３、３a_(n+1)＝a_n＋３ である数列 {a_n} について、次の性質を利用して、数列 {a_n}
の一般項を求めよ。
（１） 数列 a_2-a_1，a_3-a_2，a_4-a_3，・・・ が等比数列をなす。
（２） b_n＝a_n−3/2 とおくと、数列 {b_n} は等比数列をなす。
※便宜上、小問が２つありますが、上の（１）（２）の条件を使わずに解けた方の解答も歓迎。
（答） 条件（２）を意識しつつ解いてみました。
漸化式 ３a_(n+1)＝a_n＋３ の特性方程式は、３ｘ＝ｘ＋３ より、 ｘ＝３/２
よって、 a_(n+1)−３/２＝（１/３）（a_n−３/２） から、 a_n−３/２＝（３/２）（１/３）n-1
すなわち、 a_n＝（３/２）（１＋（１/３）n-1）
（追記） 令和４年２月１３日付け
２項間漸化式の解法で、特性方程式を用いる条件（２）の方法が一般的と思われるが、階
差数列の解法に繋がる条件（１）の方法も教科書的なので、解いてみた。
a_1＝３、３a_(n+1)＝a_n＋３ より、 a_2＝２
このとき、 ３（a_(n+2)−a_(n+1)）＝a_(n+1)−a_n より、数列｛a_(n+1)−a_n｝は、初項−１、
公比１/３の等比数列である。
よって、 a_(n+1)−a_n＝−（１/３）n-1
階差数列の公式により、 ｎ≧２のとき、
a_n＝３−Σk=1n-1 （１/３）k-1＝３−（３/２）（１−（１/３）ｎ-1）＝（３/２）（１＋（１/３）n-1）
この式は、ｎ＝１のときも成り立つ。
以上から、 a_n＝（３/２）（１＋（１/３）n-1）
以下、工事中！