当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２４年５月９日付け）
座標平面上の点A(5，3)を原点のまわりに60°回転した点Bの座標を求めよ。
（答） 点A(5，3)に対応する複素数は、5+3i この点を60°回転させるということは、5+3i
と cos60°+isin60°との積に等しい。
したがって、 (5+3i)(cos60°+isin60°)
＝(5+3i){(1/2)+(
/2)i}＝{(5/2)-(3
/2)}+i{(3/2)+(5/2)}よって、点Bの座標は、 ((5-3
)/2，(3+5)/2)空舟さんからのコメントです。（平成２４年５月１０日付け）
原点を中心とする点の回転の話題は、三角関数の加法定理が密接に関わっていると思い
ます。複素数や行列による計算でも、普通は三角関数の加法定理によってその妥当性を得
ていると思います。
では、三角関数の加法定理の証明はというと、チャートでは確か余弦定理を使った証明が
載っておりました。個人的には「回転写像の線形性」が重要かと思います。
点X(5，0)と点Y(0，3)を60度回転させた点をそれぞれX'、Y'とすると、（長方形OXAYを60度
回転させたものがOX'BY' ということになります）
ベクトルOX'+ベクトルOY' ＝ ベクトルOB
となります。X'、Y'の座標は（三角関数の定義などから）容易に得られるでしょう。このように
点の回転を加法定理によらずに得ることができて、むしろ、ここから加法定理を導くような手
順が面白いのではないかと思います...
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２４年５月１０日付け）
空舟さんの「『回転写像の線形性』が重要かと思います。」が一番本質的だと具現しており
ます。線形性のみを使い、加法定理を是非導出して下さい。（瞬時に叶います)
直線： t(7，5，3) を含む平面を、例えば、145ｘ + 1432ｙ - 2725ｚ＝0 をH とする。H上の点
P(7，5，3) をH上でθ回転 した点r(θ)(P) を求めたい。
(向きに注意して、法線ベクトル(145，1432，- 2725)を参考にし、自ら定め)
(1) r(π/3)(P)を求めて下さい。
(2) r(60度+15度)(P)を求めて下さい。
もう１次元あげて、類似の問を創作し解いて下さい。
(1)を解いた発想で、
座標平面上の点A(5，3)を原点のまわりに60°回転した点Bの座標を求めて下さい。
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年５月１０日付け）
空舟さん、S(H)さん、解答ありがとうございます。えっと、原点のまわりに60°なので、複素
平面や行列を習っていない場合の解法を・・・
問題文には、原点、点A、点Bとあるので、この3点で三角形OABが作れます。原点から点
Aまでの距離と、原点から点Bまでの距離は等しいので、OA2=OB2=52+32=34
また、∠AOB=60゜から残りの2角の∠OABと∠OBAの和は120°
ここで、 OA=OB なので、∠OAB=∠OBA=60°から、三角形OABは正三角形。
ここで、点B(ｘ，ｙ)とすると、 ｘ2+ｙ2=34・・・(1) (5-ｘ)2+(3-ｙ)2=34・・・(2)
(1)、(2)より、 ｘ2+ｙ2=(5-ｘ)2+(3-ｙ)2・・・(3) を整理して、-10ｘ-6ｙ=-34 即ち、5ｘ+3ｙ=17
ｙについて変形すれば、 ｙ=(17-5x)/3・・・(4)
(1)に代入して整理すると、 34ｘ2-170ｘ-17=0 より、 2ｘ2-10ｘ-1=0
これを解いて、 ｘ=(5＋3
)/2、(5-3)/2(4)に、ｘの値を代入して、それぞれ、 y=(3-5
)/2、(3+5)/2よって、Bの座標は、 ((5+3
)/2，(3-5)/2) または ((5-3)/2，(3+5)/2)しかし、点Aは第1象限の点なので、その位置から正の方向に60°回転だと点Bの座標は
第1象限または第2象限の点になるはずだから、ｙ＞0 で、前者は不適、後者は適となる。
以上から、点Bの座標は、 ((5-3
)/2，(3+5)/2)よおすけさんからのコメントです。（平成２４年５月１３日付け）
ひょっとしたら、点A(ａ，ｂ)を原点のまわりに60°回転の場合、Bの座標は、
B((ａ-ｂ
)/2，(ｂ+ａ)/2)のようになると思います。
ただし、a=0、b=0の場合、原点と一致するので回転できないから、A(0，0)を除く。
（コメント） Ｂ＝Ｒ（π/３）Ａ なので、よおすけさんの結果は合っていますね！
よおすけさんからのコメントです。（平成２４年９月１４日付け）
もう1つ解法がありました。
(5，3)=(rcosθ，rsinθ) (ただし、r＞0)とおくと、r=√34より、cosθ=5/√34、sinθ=3/√34
求める点の座標は、((√34)cos(θ＋60°)，(√34)sin(θ＋60°))であるが、加法定理より、
cos(θ＋60°)=cosθcos60°-sinθsin60°=(5/√34)(1/2)-(3/√34)((√3)/2)
sin(θ＋60°)=sinθcos60°＋cosθsin60°=(3/√34)(1/2)＋(5/√34)((√3)/2)
よって、点Bは、((5-3√3)/2，(3＋5√3)/2)
（※） この解法は、数学Ⅱ(新課程)の青チャートにも載っています。