当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２５年３月１０日付け）
異なる４つの正の整数（＝自然数）があり、その和は１００００という。また、それぞれの４
つの数は、ある正の整数ｘに対し、
第一の数にある数ｘを足したもの 、第二の数からある数ｘを引いたもの
第三の数にある数ｘを掛けたもの 、第四の数をある数ｘで割ったもの
がすべて等しくなっているという。
この４つの数が存在できるための、ある数ｘの候補値を探して下さい。
（答） 当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「らすかる」さんが考察されました。
（平成２５年３月１０日付け）
４数を、ａ、ｂ、ｃ、ｄとすると、条件から、
ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝10000 、ａ＋ｘ＝ｂ−ｘ＝ｃｘ＝ｄ/ｘ＝ｔ
ａ、ｂ、ｃ、ｄを消去すると、 (ｔ−ｘ)＋(ｔ＋ｘ)＋(ｔ/ｘ)＋(ｔｘ)＝10000
整理して、 (ｘ＋１)2・ｔ＝10000ｘ
ｔ＝ｃｘを代入して両辺をｘで割ると、 (ｘ＋１)2・ｃ＝10000
(ｘ＋１)2は、10000＝２4・５4の約数だから、ｘ＋１は、２2・５2＝100の約数
ｃ＝１だと、ａ＋ｘ＝ｃｘから、ａ＝０となり、条件を満たさないので、ｃ＞１
すなわち、 ｘ＋１＜100
また、ｘ＋１≧２ より、ｘ＋１＝２、４、５、１０、２０、２５、５０ となり、
ｘ＝１、３、４、９、１９、２４、４９
ｃ＝10000/(ｘ＋１)2 から、上の７候補に対して、ｃ＝2500、625、400、100、25、16、4
ｔ＝ｃｘ から、ｔ＝2500、1875、1600、900、475、384、196
ａ＝ｔ−ｘ、ｂ＝ｔ＋ｘ、ｄ＝ｔｘ から、
(ｘ，ｔ，ａ，ｂ，ｃ，ｄ)＝(1，2500，2499，2501，2500，2500)、(3，1875，1872，1878，625，5625)、
(4，1600，1596，1604，400，6400)、(9，900，891，909，100，8100)、
(19，475，456，494，25，9025)、(24，384，360，408，16，9216)、
(49，196，147，245，4，9604)
（コメント） 大学の入試問題になりそうな．．．そんな雰囲気ですね！