当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。（令和７年３月２１日付け）
正の整数 ｘ、ｙ、ｚ を用いて、Ｎ＝９ｚ^2＝ｘ^6＋ｙ^4 と表される正の整数Ｎの最小値を求めよ。
（出典）２０２５年 京都大学前期理系問題２
（答） Ｎ＝９ｚ^2 から、Ｎは３の倍数である。
また、（整数）^2 を３で割った余りは、０、１ なので、ｘ^6＋ｙ^4 が３の倍数であることから
ｘ^6 も ｙ^4 も３で割った余りは、０ と確定する。すなわち、ｘ、ｙ はともに３の倍数
そこで、 ｘ＝３ｍ、ｙ＝３ｎ （ｍ、ｎは自然数） とおくと、 ３^6・ｍ^6＋３^4・ｎ^4＝９ｚ^2
すなわち、 ３^4・ｍ^6＋３^2・ｎ^4＝ｚ^2
左辺が３で割って割り切れるので、ｚ^2 も３で割って割り切れる。すなわち、ｚ も３の倍数
そこで、 ｚ＝３ｋ （ｋは自然数） とおくと、 ９ｍ^6＋ｎ^4＝ｋ^2
すなわち、 ９ｍ^6＝ｋ^2－ｎ^4＝（ｋ＋ｎ^2）（ｋ－ｎ^2）
ここで、 ｍ＝１ とすると、 ｋ＋ｎ^2＝９ 、ｋ－ｎ^2＝１
これを解いて、 ｋ＝５ 、ｎ＝２
このとき、 ｚ＝１５ なので、 Ｎ＝９・１５^2＝２０２５ これが最小値となる。 （終）
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