方程式2022                              戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「DD++」さんからの出題です。
                                        (令和4年1月2日付け)

問題 x^2 + y^6 = 2022^2 を満たす自然数 x, y を求めてください。

 コンピュータで全検はなんも面白みがないので、手計算もしくは暗算でどうぞ。








































(答) らすかるさんが考察されました。(令和4年1月2日付け)

 暗算で求めました。以下暗算手順です。

 y が奇数だと、mod4 でNG、14^3>2022 なので、y の候補は、2、4、6、8、10、12 だけ

 x^2 = 2022^2 - y^6 =(2022 - y^3)(2022 + y^3) に注意して、

 12^3=1728 で、2022-1728=294=49×6 、2022+1728=3750 より、

 49×6×3750=49×22500=(7×150)^2=1050^2 となり、 x=1050、y=12

(他の解があるかどうかは調べていません。)


(コメント) DD++ さんの出題からわずか30分ほどでのスピード回答、恐れ入ります。皆様
      からの大いなる刺激を受けて、本年も成長していきたいと思います。本年もどうぞ
      よろしくお願いいたします。


 DD++ さんからのコメントです。(令和4年1月3日付け)

 他に解がない確認も含めて、想定していた解法を...。

 平方数を 3 で割った余りは 0 か 1 しかありません。右辺を 3 で割った余りは 0 なので、
x^2 と y^6 はともに 3 で割った余りが 0、すなわち、y は 3 の倍数です。

 平方数を 4 で割った余りは 0 か 1 しかありません。右辺を 4 で割った余りは 0 なので、
x^2 と y^6 はともに 4 で割った余りが 0、すなわち、y は 2 の倍数です。

 平方数を 13 で割った余りは 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12 しかありません。また、3 乗数を 13 で
割った余りは 0, 1, 5, 8, 12 しかありません。

 右辺を 13 で割った余りは 10 なので、x^2 と y^6 を 13 で割った余りは、
10 と 0 または 9 と 1。

 フェルマーの小定理より、y^13-y = y(y^6-1)(y^6+1) が 13 の倍数であることを考えると、
y を 13 で割った余りは平方数を 13 で割った余りとして出てきうる 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12 のい
ずれか。

 さらに、16^6 = 2^24 = 4096^2 > 2022^2 と考えると、y≦15
(もちろん 13^6 = 2197^2 > 2022^2 から y≦12 でもいいですが...)

 以上 4 つの条件を全て満たす自然数は y=12 のみで、後は x^2 = 2022^2 - 12^6 を素因
数分解してみるだけです。

 3 つめは省いて、y=6, 12 を 2 つ試した方が実用的かもしれませんが。