２乗の和２０２１ 
当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（令和３年１月３日付け）
次の（選択問題A）、（選択問題B）のうち、どちらか一題を選んで答えよ。
(選択問題A) 等式 x^2＋y^2＋z^2＝2021 なる整数 x、y、z の組(x，y，z)は複数あるが、
そのうち一組を答えよ。※答えのみで可
(選択問題B) 等式 x^2＋y^2＋z^2＝2021 なる整数 x、y、z の組(x，y，z)について、次の
不等式を満たす整数 x、y、z の組(x，y，z)は存在するか。ただし、|x|、|y|、|z|
はそれぞれ x、y、z の絶対値を表す。
(1) |x|＋|y|＋|z|＞70 (2) |x|＋|y|＋|z|＜55
（答） らすかるさんが考察されました。（令和３年１月３日付け）
（選択問題A）について、
x=1 とすると、y^2+z^2=2020=2^2・5・101=2^2・(2^2+1^2)・(10^2+1^2)
=2^2・{(10×1-2×1)^2+(10×2+1×1)^2}=16^2+42^2
よって、 (x，y，z)=(1，16，42) が一例
# 手作業で全部出して書こうと思いましたが、多すぎて断念。
（選択問題B）について、
(1) (x，y，z)=(9，28，34) のとき、 x^2+y^2+z^2=2021 、|x|+|y|+|z|=71 なので存在する
(2) x≧y≧z＞0とする。x がある値のとき、y、z が条件を満たすためには、
y^2+z^2=2021-x^2 、y+z≦54-x
ここで、y+z≦54-x のとき、y^2+z^2 が最大となるのは、y=53-x、z=1 のときなので、
y^2+z^2≦(53-x)^2+1^2=x^2-106x+2810 より、 2021-x^2≦x^2-106x+2810
これを解くと、x≦8、x≧45 となるが、
x≦8 だと、8≧y≧z で、 2021＝x^2+y^2+z^2≦8^2+8^2+8^2＜2021 で矛盾
x≧45 だと、45^2＞2021 なので、 2021=45^2+y^2+z^2＞2021 で矛盾
以上から、|x|+|y|+|z|＜55を満たす解は存在しない。
（コメント） （選択問題A）について、
２０２１より小さい平方数で最大のものは、 ４４2＝１９３６
２０２１−１９３６＝８５＝４＋８１＝２2＋９2
よって、 ２2＋９2＋４４2＝２０２１ というものもありますね。
（コメント） (x，y，z)=(2，9，44) のとき、丁度、|x|+|y|+|z|=55 なんですね！
「よおすけさんに刺激受け」と題して、ＧＡＩさんからのご投稿です。（令和３年１月６日付け）
ｘ＜ｙ＜ｚ なる自然数の組(ｘ，ｙ，ｚ)で、次の条件を満たすものを探してください。
(1) x^2＋y^2＋z^2 ＝ 88888888
(2) x^2＋y^2＋z^2 ＝ 123456789
逆に、
(3) 999999999を何個かの平方数の和で作るには最低何個いるか？
DD++さんからのコメントです。（令和３年１月６日付け）
(1) x^2＋y^2＋z^2 ＝ 88888888
平方数を 8 で割った余りは、
| ｎ（ｍｏｄ ８） |
０ |
１ |
２ |
３ |
４ |
５ |
６ |
７ |
| ｎ2（ｍｏｄ ８） |
０ |
１ |
４ |
１ |
０ |
１ |
４ |
１ |
と、 0、1、4 のいずれかなので、それを ３ つ合計して ８ の倍数になるのは全て偶数のとき
に限ります。「1組探せ」という題意と解釈して、z が最も大きくなるものを探します。
√88888888 = 9428.09…… なので、z ≦ 9428
そこで、z = 9428 - 2n とおきます。これを方程式に代入、整理すると、
x^2+y^2 = 4(-n^2+9428n+426)
この括弧の中の数は、素因数分解で 4N+3 型素数が全て平方で出現する数でなくてはな
りません。
n=0 のとき、 426 = 2*3*71
n=1 のとき、 9853 = 59*167
n=2 のとき、 19278 = 2*3^4*7*17
n=3 のとき、 28701 = 3^3*1063
n=4 のとき、 38122 = 2*7^2*389
389 = 17^2+10^2 であることを利用すると、
（ａ2＋ｂ2）（ｘ2＋ｙ2）＝（ａｘ＋ｂｙ）2＋（ｂｘ−ａｙ）2
から、 38122 = （7^2+7^2）*（17^2+10^2） = （7*17＋7*10）2＋（7*17−7*10）2 なので、
38122 = 189^2+49^2
よって、 x ^2＋y^2＋z^2 ＝ 88888888 の解の 1 つは、x = 98 、y = 378 、z = 9420
(2) x^2＋y^2＋z^2 ＝ 123456789
同様に、 z = 11111-n とおくと、-n^2+22222n+2468 が素因数分解で 4N+3 型素数が全て
平方で出現するような数になる n を探すことになりますが、n=0 のときの 2468 = 2^2*617 が
いきなり条件を満たします。 617 = 16^2+19^2 なので、解の 1 つは、x=32、y=38、z=11111
(3) 999999999を何個かの平方数の和で作るには最低何個いるか？
８ で割った余りを考えれば ３ 個では不可能。ラグランジュの四平方定理より 4 個では可能。
よって、最低 4 個必要。（例: 7^2+15^2+221^2+31622^2）
らすかるさんからのコメントです。（令和３年１月６日付け）
問題の解答は、既に、DD++さんが書かれていますので、それぞれの解の探索結果につい
て書きます。
# 元々は解答とこの結果を合わせて書く予定でしたが、(3)の全解の探索に長い時間がか
かってしまいました。
(1) x^2+y^2+z^2=88888888 、0＜x＜y＜zの解は、448通り
z-xが最小 → 5246^2+5316^2+5754^2=88888888
z-xが最大 → 36^2+514^2+9414^2
xが最小(のうちzが最大) → 6^2+1844^2+9246^2=88888888
xが最大 → 5246^2+5316^2+5754^2=88888888
yが最小 → 98^2+378^2+9420^2=88888888
yが最大 → 210^2+6652^2+6678^2=88888888
zが最小 → 5004^2+5606^2+5694^2=88888888
zが最大 → 98^2+378^2+9420^2=88888888
(2) x^2+y^2+z^2=123456789 、0＜x＜y＜zの解は、3498通り
z-xが最小 → 6407^2+6416^2+6422^2=123456789 、6408^2+6414^2+6423^2=123456789
z-xが最大 → 32^2+38^2+11111^2=123456789
xが最小 → 2^2+3328^2+10601^2=123456789 、2^2+6484^2+9023^2=123456789
xが最大 → 6408^2+6414^2+6423^2=123456789
yが最小 → 32^2+38^2+11111^2=123456789
yが最大 → 233^2+7840^2+7870^2=123456789
zが最小 → 6407^2+6416^2+6422^2=123456789
zが最大 → 32^2+38^2+11111^2=123456789
(3) x^2+y^2+z^2+w^2=999999999 、0＜x＜y＜z＜w の解は、31955293通り
w-xが最小 → 15745^2+15746^2+15867^2+15887^2=999999999
w-xが最大(xが最小、wが最大) → 1^2+45^2+217^2+31622^2=999999999
1^2+125^2+183^2+31622^2=999999999
xが最大 → 15761^2+15777^2+15782^2+15925^2=999999999
yが最小 → 2^2+3^2+6319^2+30985^2=999999999
yが最大 → 214^2+18253^2+18255^2+18263^2=999999999
zが最小 → 105^2+137^2+139^2+31622^2=999999999
zが最大 → 21^2+125^2+22358^2+22363^2=999999999
71^2+105^2+22358^2+22363^2=999999999
wが最小 → 15697^2+15842^2+15851^2+15855^2=999999999