石取りゲーム2020                          戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「DD++」さんからの出題です。
                                        (令和2年1月4日付け)

 あけましておめでとうございます。本年もよろしくお願い致します。では、新年の問題です。

 以下のようなルールでゲームを行います。

(ルール) いくつかの石が積まれた山と1つのサイコロがある。2人のプレイヤーは交互に
      サイコロの出目の数だけ山から石を取っていき、先に石を出目の数だけ取れな
      かった方の負けとする。ただし、サイコロは普通に振るのではなく、今置かれてい
      る向きからどちらかの方向に90度倒して、そのとき上になった面を出目とする。

例: 石が12個、最初にサイコロで上になっている面が5の場合

 先手は4を出す(残り8個)
 後手は1を出す(残り7個)
 先手は2を出す(残り5個)
 後手は3を出す(残り2個)
 先手は2を出す(残り0個)

 後手は何を出しても石を取れないので、先手勝ち

 この例において、後手が2回目の手番で5を出せば勝てそうに見えますが、直前の先手の
出目は2、つまり、5はそのとき底面にあるため、どう90度倒しても5の目は出せません。

 また、先手の最後の手番は2ではなく1にしても勝利です。なぜなら1が上を向いているとき
側面は全て2以上であるため、残りの石が1つでは後手はどうやっても出目の数だけ取るこ
とができないからです。

 では、問題。

 石の数が2020個、最初にサイコロで上になっている面が2の場合、先手必勝か後手必勝か
どちらでしょう?




































(答) らすかるさんが考察されました。(令和2年1月5日付け)

 あけましておめでとうございます。さっそく解答ですが、石の数と最初にサイコロで上になっ
ている面の数字で自分の番のときの勝敗表を作ってみると、

   1 2 3 4 5 6
 1 L W W W W L
 2 W W W W W W
 3 W W L L W W
 4 W W L L W W
 5 W L W W L W
 6 W W W W W W
 7 W W W W W W
 8 W W L L W W
 9 L L L L L L
10 W W W W W W
11 W W W W W W
12 W W L L W W
13 W W L L W W
14 W L W W L W
15 W W W W W W
16 W W W W W W
17 W W L L W W
18 L L L L L L
19 W W W W W W
20 W W W W W W
21 W W L L W W
22 W W L L W W
23 W L W W L W
24 W W W W W W


のように9周期になり、2020≡4 (mod9) なので、上が2ならば、先手必勝になると思います。


 DD++さんからのコメントです。(令和2年1月5日付け)

 らすかるさん、正解です。お見事。


 当HPがいつもお世話になっているHN「PB」さんからのコメントです。
                                       (令和2年1月10日付け)

 石取りゲーム2020の実際の勝ち方について考察してみました。らすかるさんの作成され
た表でもわかりますが、9周期であることから、

 相手に手を渡すとき、kを整数として、

 A:残り9k個で渡す(サイコロの目は任意)
 B:残り9k+4個、サイコロの目は3または4で渡す
 C:残り9k+8個、サイコロの目は3または4で渡す

 この作戦を繰り返すことで勝利することができます。

実際に、

A:9k個のとき、

1)相手が1または2を出せば、自分は4または3を出すことで、残り9(k−1)+4個 なので
 Bの条件を満たし、
2)相手が3〜6を出せば、自分は6〜3がそれぞれ出せて、残り9(k−1)個 となり再びA

B:9k+4個のとき、相手は3・4の目は出せないので、

1)相手が1の目を出せば、自分は3を出し、残り9k個
2)相手が2の目を出せば、自分は3を出し、残り9(k−1)+8個
3)相手が5・6の目を出せば、自分は4・3を出し、残り9(k−1)+4個

C:9k+8個のとき同様に、

1)相手が1の目を出せば、自分は3を出し、残り9k+4個
2)相手が2・5・6の目を出せば、自分は6・3・2を出し、残り9k個

 このように、A、B、Cいずれかの状態で相手に手を渡し続けることで、最終的には、

a:残り0個で相手の手番(当然勝ち)
b:残り4個、3または4の目で相手の手番
 1)相手が1の目を出せば、自分は3を出し、残り0個なので勝ち
 2)相手が2の目を出せば、自分は1を出し、残り1個で、相手が2以上の目しか出せない
  ので勝ち
3)相手が5・6の目を出せば、石を取ることができず勝ち
c:残り8個、3または4の目で相手の手番
 1)相手が1の目を出せば、自分は3を出し、残り4個→bへ
 2)相手が2・5・6の目を出せば、自分は6・3・2を出し、残り0個→勝ち

 他にも勝ち方はありますが、この作戦が単純でわかりやすいかと思いました。


(コメント) PBさん、ありがとうございました。今年もよろしくお願いします。