数の大きさ２０１９版　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　

　西暦２０１９年（平成３１年）に因んだ問題。平成の世もあと４ヶ月。

問題　次の問いに答えよ。ただし、log₁₀２＝０．３０１０　とする。必要があれば、
　　　　０．３０１０＜log₁₀２＜０．３０２０　を用いてもよい。

（１）　２０１９³¹は何桁の数か？

（２）　２０１９³¹の一の位はどんな数か？

（３）　２０１９³¹の下３桁の数を求めよ。

（４）　２０１９³¹の最高位の数は何か？


　ＧＡＩ さんから追加の問題をいただきました。（平成３１年１月５日付け）

　以前興味が出てこのサイトに質問していましたので懐かしく思い出したので．．．。

（５）　２０１９^ｓ を計算していくとき、最高位から２つまでが初めて31****** となるのは、s が
　　最小いくつの時か？

（６）　３１^t を計算していくとき、最高位から４つ目までが初めて2019****** となるのは、ｔ が
　　最小いくつの時か？






















（答）　（１）　２０００³¹＜２０１９³¹＜２０４８³¹　より、

　　　　　log₁₀２０００³¹＝１０２．３３１　、log₁₀２０４８³¹＝１０２．６４１　なので、１０３桁の数

（２）　２０１９≡−１　（ｍｏｄ　１０）　なので、　２０１９³¹≡（−１）³¹＝−１≡９　（ｍｏｄ　１０）

　　　よって、　２０１９³¹の一の位は、９

（コメント）　２０１９^ｎ の一の位は明らかに、９、１、９、１、・・・と循環するので、奇数番目は、
　　　　　　９ と直ぐ分かるかな．．．。

（３）　２０１９≡１９　（ｍｏｄ　１０³）　なので、　２０１９³¹≡１９³¹　（ｍｏｄ　１０³）

ここで、

　１９³¹＝（２０−１）³¹≡₃₁Ｃ₂２０²（−１）²⁹＋₃₁Ｃ₁２０（−１）³⁰＋（−１）³¹　（ｍｏｄ　１０³）

すなわち、　１９³¹≡６２０−１＝６１９　（ｍｏｄ　１０³）

　よって、　２０１９³¹の下３桁は、６１９　である。（※（２）の結果とも一致している）

（コメント）　因みに、下４桁は、６６１９ となる。読者のための練習問題にしておきましょう。

＜下４桁が６６１９になること＞

　以下では、すべて１００００を法として計算します。

　２０１９³¹＝（２０００＋１９）³¹≡１９³¹＋３１・２０００・１９³⁰＝１９³¹＋６２０００・１９³⁰

　１９³⁰の下１桁は、１なので、　２０１９³¹≡１９³¹＋６２０００

　ここで、

１９³¹＝（20-1）³¹≡（-1）³¹＋31・20・（-1）³⁰＋31・15・（20）²・（-1）²⁹＋31・5・29・（20）³・（-1）²⁸

　　　＝−１＋６２０−１８６０００＋３５９６００００＝３５７７６６１９

　以上から、２０１９³¹の下４桁は、６６１９　である。

（４）　常用対数表を用いて、　log₁₀２０１９＝３．３０５１　より、

　　log₁₀２０１９³¹＝３．３０５１×３１＝１０２．４５８１

　ここで、常用対数表より、　log₁₀２．８７１＝０．４５８１　なので、

　　　２０１９³¹＝２．８７１×１０¹⁰²

　よって、２０１９³¹の最高位の数字は、２


（コメント）　（４）では常用対数表を用いてしまったが、単に最高位の数字を求めるだけだっ
　　　　　　たら次のようにしてもよいのかな？

　　２項定理から、２０００³¹と２０１９³¹の最高位の数字は同じ

　　log₁₀２０００³¹＝１０２．３３１　で、　log₁₀２＜０．３３１＜log₁₀３

　　よって、　２０００³¹の最高位の数字は２なので、２０１９³¹の最高位の数字も２である。


　DD++さんからのコメントです。（平成３１年１月５日付け）

　　２項定理から、２０００³¹と２０１９³¹の最高位の数字は同じ

　これってそんなにさらっとわかるものですかね？

　2019^31 ≒ 2000^31 + 31*2000^30*19 としたとしても、第2項が第1項の0.3倍くらいあるわ
けで、数値が1.3倍になっても先頭の桁が変わらないとは素直には思えない気がします。

　何か他の考え方があるのでしょうか？


（コメント）　ちょっと楽天的過ぎました．．．。少し精査してみました。

　２０１９³¹＝（２０００＋１９）³¹

＝２０００³¹＋３１・２０００³⁰・１９＋３１・１５・２０００²⁹・１９²＋・・・

＝２０００³⁰（2000＋589＋83．9325＋7．7078012＋0.512568783125＋・・・）

　ここで、　log₁₀２０００³⁰＝３０×３．３０１＝９９．０３　なので、２０００³⁰ の最高位の数は、

　log₁₀ ｘ ＝０．０３　となる ｘ から分かる。

　log₁₀ ｘ ＝０．０３＜０．０３０１＜０．１*log₁₀ ２ ＜０．０３０２　から、 ｘ＜２^0.1

　ここで、　１．０８¹⁰＝２．１５・・・＞２　より、　ｘ＜１．０８

　このとき、　2000＋589＋83．9325＋7．7078012＋0.512568783125＋・・・　の上３桁の数は

２６８で、これに ｘ を掛けても最高位の数が３となることはない。


　ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成３１年１月５日付け）

　最高位を同じにする範囲を見てみました。

　　1972^31〜1995^31 までが最高位は同じ1
　　1996^31〜2021^31 までが最高位は同じ2
　　2022^31〜2040^31 までが最高位は同じ3
　　2041^31〜2055^31 までが最高位は同じ4
　　2056^31〜2067^31 までが最高位は同じ5
　　2068^31〜2077^31 までが最高位は同じ6
　　2078^31〜2086^31 までが最高位は同じ7
　　2087^31〜2094^31 までが最高位は同じ8
　　2095^31〜2101^31 までが最高位は同じ9

　logを使う数値で判定するしか手が見当たりません。


　DD++さんからのコメントです。（平成３１年１月５日付け）

　常用対数表を用いない方法を少し考えてみました。ln は自然対数、log は常用対数としま
す。

　x＞-1、x≠0 のとき、ln(1+x)＜x であることを用いると、

　ln(2019) = ln(2000) + ln(1+19/2000) ＜ ln(2000) + 19/2000

　ln(2019) = ln(2048) + ln(1-29/2048) ＜ ln(2048) - 29/2048

　ここで、2000=16×125、2048=16×128　なので、右辺の定数項を相殺するために、

　上の式を 29×125=3625倍、下の式を 19×128=2432倍して加えると、

　　6057*ln(2019) < 3625*ln(2000) + 2432*ln(2048)

　両辺 ln(10) で割って、　6057*log(2019) < 3625*log(2000) + 2432*log(2048)

　すなわち、　6057*log(2019) ＜ 10875 + 30377*log(2)

　よって、　31*log(2019) ＜ (10875 + 30377*0.3020)*31/6057 = 102.610……

　問題文にある log(2)＜0.3020 ではなく log(2)＜0.3011 を使ってよいなら、最後が

　31*log(2019) ＜ (10875 + 30377*0.3011)*31/6057 = 102.471……

となるので、加えて、log(3)＞0.4771 も使ってよければ、2019^31 ＜ 3*10^102 が示せたこと
になります。……絶望的なまでに面倒ですが。


（５）　ｓ＝１８　かな？


　（６）について、当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＰＢ」さんが考察されました。
（平成３１年１月５日付け）

　「数の大きさ２０１９版」（６）の問いにコメントがないことをさびしく思いメールしました。

　Ｅｘｃｅｌで候補を絞り、ＷｏｌｆｒａｍＡｌｐｈａで確認するという方法で、ただ計算しただけなのです
が、

　　３１＾１７５９＝２.０１９３…×１０＾２６２３

が最小のｔの値です。


（コメント）　私も気になっていました。ＰＢさんに感謝します。