当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「数々の和」さんからの出題です。
（平成３０年１月１日付け）
（１） a2＋b2＝２０１８、a−b＝３０ を満たす正の整数 a、b を求めてください。
（２） a2＋b2＝(西暦年)、a−b＝(平成年) を満たす正の整数 a、b が存在するような年が
今年以外にあと1度ありました。平成何年でしたか。
（答） （１） a2＋b2＝（a−b）2＋２ａｂ＝２０１８ より、 ａｂ＝５５９
よって、a、−b は、２次方程式 ｔ2−３０ｔ−５５９＝０ の２つの解となる。
判別式をＤとおくと、 Ｄ/４＝７８４＝２８2 なので、 ｔ＝１５±２８＝４３、−１３
したがって、 ａ＝４３、ｂ＝１３
（２） 西暦年をＳ、平成年をＨとおくと、 Ｓ＝Ｈ＋１９８８
このとき、 a2＋b2＝（a−b）2＋２ａｂ＝Ｓ＝Ｈ＋１９８８ より、
ａｂ＝（Ｈ＋１９８８−Ｈ2）/２ 、a−b＝Ｈ
よって、a、−b は、２次方程式 ｔ2−Ｈｔ−（Ｈ＋１９８８−Ｈ2）/２＝０ の２つの解となる。
判別式をＤとおくと、 Ｄ＝Ｈ2＋２（Ｈ＋１９８８−Ｈ2）＝２Ｈ−Ｈ2＋３９７６
１≦Ｈ≦３０ で、Ｄが平方数になるのは、Ｈ＝１７、３０
Ｈ＝１７ のとき、Ｄ＝３７２１＝６１2 なので、 ｔ＝（１７±６１）/２＝３９、−２２
したがって、 ａ＝３９、ｂ＝２２
以上から、答えは、平成１７年