当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「DD++」さんからの出題です。
（平成３０年１月１日付け）
問題 x についての２次方程式 ｘ2＋(ｘ＋ｋ)2＝２０１８ が自然数解をもつような自然数 ｋ
の値を求めてください。
（答） 雰囲気的に、ｋ＝３０
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年１月１日付け）
x=αが解のとき、α2+(α+k)2=(-α-k)2+{(-α-k)+k}2 なので、-α-k も解
α と ｋ が自然数ならば、-α-k は自然数にならないので、自然数解を持っても他の解は
自然数となることはないですね。
2018≡2 (mod 4) なので、x は奇数、ｋ は偶数 である。
また、2018≡2 (mod 3) なので、x は3の倍数ではなく、2018≡3 (mod 5) なので、x を 5 で
割った余りは、2 か 3 でなければならない。
31^2＜2018/2=1009＜32^2 なので、2018-7^2、2018-13^2、2018-17^2、2018-23^2 のうち
で平方数になるものを調べれば十分。
このうち、平方数になるものは、2018-13^2=43^2 のみなので、ｋ＝43-13=30
よおすけさんからのコメントです。（平成３０年１月１日付け）
２次方程式 ｘ2＋(ｘ＋ｋ)2＝2018 を整えて、2x2＋2ｋｘ＋k2−2018＝0
判別式 D/4＝−k2＋4036 なので、この値が平方数のとき、整数の解をもつ。
63^2＜4036＜64^2 より、k＝63から一つずつ下げて探すと、
k＝56 のとき、D＝900＝30^2 、ｋ＝30 のとき、D＝3136＝56^2
となり、この２つが元のｘの２次方程式が整数の解をもつ自然数ｋのすべて。
ｋ＝56、ｋ＝30 をそれぞれ元のｘの２次方程式に代入すると、
ｋ＝56 のとき、 2x2+112x+1118=0 を解いて、 ｘ＝-13、-43 →条件に合わない
ｋ＝30 のとき、 2x2+60x-1118=0 を解いて、 ｘ＝13、-43 →条件に合う
このうち、元のｘの２次方程式が自然数の解をもつ自然数ｋは、30 のみでこれが最小。