パズル2018(4)                            戻る

 当HPがいつもお世話になっているHN「よおすけ」さんからの出題です。
                                      (平成30年9月17日付け)

 次の等式が成り立つ自然数 m、n をそれぞれ答えよ。

  Σk=1〜m2−Σk=1〜n2=2018





































(答) 2018=72+82+・・・+182 なので、 Σk=1〜182−Σk=1〜62=2018

   よって、m=18、n=6 である。


 らすかるさんからのコメントです。(平成30年9月18日付け)

Σ[k=1,m]k^2-Σk=1,n]k^2=m(m+1)(2m+1)/6-n(n+1)(2n+1)/6={m(m+1)(2m+1)-n(n+1)(2n+1)}/6

ここで、m=n+k とすると、

{m(m+1)(2m+1)-n(n+1)(2n+1)}/6={(n+k)(n+k+1)(2n+2k+1)-n(n+1)(2n+1)}/6={6kn^2+6k(k+1)n+k(k+1)(2k+1)}/6

{6kn^2+6k(k+1)n+k(k+1)(2k+1)}/6=2018 なので、6kn^2+6k(k+1)n+k(k+1)(2k+1)=12108 … (1)

 k{6n^2+6(k+1)n+(k+1)(2k+1)}=2^2×3×1009

よって、k は、1、2、3、4、6、12、1009、2018、3027、4036、6054、12108 のいずれか

 6kn^2+6k(k+1)n+k(k+1)(2k+1)-12108=0 の判別式は、

D/4={3k(k+1)}^2-6k{k(k+1)(2k+1)-12108}=-3k^4+3k^2+72648k=3k(-k^3+k+24216)

 順に代入して平方数になるものを調べると、

 k=1のとき、D/4=72648=2^3×3^2×1009
 k=2のとき、D/4=145260=2^2×3^3×5×269
 k=3のとき、D/4=217728=2^7×3^5×7
 k=4のとき、D/4=289872=2^4×3^3×11×61
 k=6のとき、D/4=432108=2^2×3^3×4001
 k=12のとき、D/4=810000=2^4×3^4×5^4
 k≧29のときD/4<0

 従って、k=12 のみ条件を満たす。

 (1)に k=12 を代入して整理すると、(n-6)(n+19)=0 となるので、条件を満たす答えは、

  m=6+12=18 、n=6