当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成３０年９月１７日付け）
次の等式が成り立つ自然数 ｍ、ｎ をそれぞれ答えよ。
Σk=1〜m ｋ2−Σk=1〜ｎ ｋ2＝２０１８
（答） ２０１８＝７2＋８2＋・・・＋１８2 なので、 Σk=1〜18 ｋ2−Σk=1〜6 ｋ2＝２０１８
よって、ｍ＝１８、ｎ＝６ である。
らすかるさんからのコメントです。（平成３０年９月１８日付け）
Σ[k=1,m]k^2-Σk=1,n]k^2=m(m+1)(2m+1)/6-n(n+1)(2n+1)/6={m(m+1)(2m+1)-n(n+1)(2n+1)}/6
ここで、m=n+k とすると、
{m(m+1)(2m+1)-n(n+1)(2n+1)}/6={(n+k)(n+k+1)(2n+2k+1)-n(n+1)(2n+1)}/6={6kn^2+6k(k+1)n+k(k+1)(2k+1)}/6
{6kn^2+6k(k+1)n+k(k+1)(2k+1)}/6=2018 なので、6kn^2+6k(k+1)n+k(k+1)(2k+1)=12108 … (1)
k{6n^2+6(k+1)n+(k+1)(2k+1)}=2^2×3×1009
よって、k は、1、2、3、4、6、12、1009、2018、3027、4036、6054、12108 のいずれか
6kn^2+6k(k+1)n+k(k+1)(2k+1)-12108=0 の判別式は、
D/4={3k(k+1)}^2-6k{k(k+1)(2k+1)-12108}=-3k^4+3k^2+72648k=3k(-k^3+k+24216)
順に代入して平方数になるものを調べると、
k=1のとき、D/4=72648=2^3×3^2×1009
k=2のとき、D/4=145260=2^2×3^3×5×269
k=3のとき、D/4=217728=2^7×3^5×7
k=4のとき、D/4=289872=2^4×3^3×11×61
k=6のとき、D/4=432108=2^2×3^3×4001
k=12のとき、D/4=810000=2^4×3^4×5^4
k≧29のときD/4＜0
従って、k=12 のみ条件を満たす。
(1)に k=12 を代入して整理すると、(n-6)(n+19)=0 となるので、条件を満たす答えは、
m=6+12=18 、n=6