当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「DD++」さんからの出題です。
（平成２９年１月１日付け）
問題 Ｆ（ｎ＝０*ｎ3＋１*ｎ2＋０*ｎ＋１ が ３６５ の倍数になるような自然数 ｎ を
２００１≦ｎ≦２１００ の範囲で一つ求めてください。
（答） 答えは見え見えだけど、ｎ＝２０１７ しかないですよね！Ｓ（Ｈ）さんに同意。
DD++さんから解答をいただきました。（平成２９年１月２日付け）
一応手計算で、そこに至る手順を示したいと思います。
365 の倍数というのは 5 の倍数かつ 73 の倍数ということです。
まず、n2+1 が 5 の倍数になる条件を考えます。
n2+1 = n2-4+5 = (n+2)(n-2)+5
なので、これが 5 の倍数になる条件は、n を 5 で割った余りが 2 か 3 であることです。
次に、n2+1 が 73 の倍数になる条件を考えます。
73 は 4 で割ると 1 余る素数なので、平方数の和に表せます。73＜92 なので、82 以下で
総当りすると、73=32+82 が見つかります。この両辺を 92 倍すると、
73*81=272+722=272+(73-1)2=272+732-2*73+1 より、 73*10=272+1
よって、 n2+1 = n2-272+73*10 = (n+27)(n-27)+73*10 なので、これが 73 の倍数になる
条件は、n を 73 で割った余りが 27 か 46 であることです。
つまり、両方を同時に満たすには、ｍｏｄ ５ で考えて
73q+27≡3q+2≡2,3 から、q=0,2 73q+46≡3q+1≡2,3 から、q=2,4
よって、 73q+27=27,173 、73q+46=192,338 なので、
n を 365 で割った余りが 27, 173, 192, 338 のいずれかであればよいことになります。
2001 = 365*5 + 176 、2100 = 365*5 + 275 なので、範囲内で条件を満たす唯一の数は、
365*5 + 192 = 2017 となります。
（コメント） 私は、Ｅｘｃｅｌ さんに援助願いましたが、なるほど！手計算でも出来るんですね。