当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「よおすけ」さんからの出題です。
（平成２８年１月１１日付け）
和 Σk=1〜28 f(k)＝2016 となるような、f(k)の一例を答えなさい。
（答） ａｔ さんが考察されました。（平成２８年１月１１日付け）
例えば、f(k)=2016*floor(k/28)
ｋ=1〜27 では、floor(k/28)=0 ｋ=28 のときのみ、floor(k/28)=1 なので、題意を満たす。
（コメント） f(k)=1624/｛ｋ（ｋ+1）｝ としても成り立つかな？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１月１１日付け）
f(k)=4k+14
f(k)=k^2-17k+43
f(k)=k^2-15k+14
f(k)=k^2-13k-15
f(k)=k^2-11k-44
f(k)=2k^2-30k-44
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らすかるさんからのコメントです。（平成２８年１月１１日付け）
f(k)=2016・kc/Σi=1〜28 ic （cは任意の定数）
特に、c=0 のとき、f(k)=72
c=1 のとき、f(k)=144k/29
c=2 のとき、f(k)=144k^2/551
c=3 のとき、f(k)=72k^3/5887
c=-1 のとき、f(k)=161911881331200/(315404588903k)
c=-2 のとき、f(k)=13003699065579658275840000/(10383930672892966877209k^2)
Ｓ（Ｈ）さんからのコメントです。（平成２８年１月１１日付け）
f(k)=k^8-120 k^4-163 k-49029334953,
f(k)=k^8-118 k^4-55 k-49029604856,
f(k)=k^8+116 k^4+25 k-49061001445
（→ 参考）
りらひいさんからのコメントです。（平成２８年１月１１日付け）
g(x)を奇関数として、f(x) = 72 + g(x-29/2)
ａｔ さんから問題をいただきました。（平成２８年１月１１日付け）
定数関数ではないような、一変数の実数値連続関数f(x)であって、任意の実数xに対し、等
式Σk=1〜28 f(kｘ)＝2016 を満たすようなものは果たして存在するか？
りらひいさんからのコメントです。（平成２８年１月１６日付け）
存在しそうな気がします。証明はできていませんけど・・・。まずは大雑把な説明をします。
（この前半部分は読み飛ばしてもいいです。）
複素数zに対する共役複素数を、z~と書くことにします。γを複素数の定数とします。
写像φ：R→C を定義域 x＞0 において、φ(x)=xγ と定義します。ただし、logをとるときに
2nπi (n∈Z) の任意性が出るので、主値とすることにします。（この辺からすでに大雑把。）
Σk=1〜28 φ(kx) = xγ(Σk=1〜28 kγ) と変形できるので、Σk=1〜28 kγ = 0 がなりたって
いるのならば、 Σk=1〜28 φ(kx) = 0 となります。
また、このときに Σk=1〜28 kγ = 0 の両辺の共役複素数をとると Σk=1〜28 kγ~ = 0 も
成り立つことになるので、ψ(x):=xγ~ も Σk=1〜28 ψ(kx) = 0 となります。
よって、 u(x):=(φ(x)+ψ(x))/2 や v(x):=(φ(x)-ψ(x))/(2i) も同様の性質をもちます。さらに
この二つの関数は値域が実数となるため、実数の関数とみなせます。
さて、今、Σk=1〜28 kγ = 0 が成り立つγが存在し、かつ Re[γ]＞0 であったとすると、
limx→+0 u(x) = 0、 limx→+0 v(x) = 0 となります。
そこで、たとえば、x=0 のとき、u(x):=0 、v(x):=0
x＜0 のとき、u(x):=u(|x|) 、v(x):=v(|x|)
などと定義してやることで、実数全体で連続とすることができます。（大雑把な前半部分 終）
以上のことをふまえて、ある想定（※下参照）のもとに、条件を満たすf(x)の例を作ってみ
ます。（結論はここから読めばOK）
(x，y)の連立方程式 Σk=1〜28 kxcos(ylog(k)) = 0 かつ Σk=1〜28 kxsin(ylog(k)) = 0 が
x＞0 の領域に実数解を少なくとも一つ以上持っているとします。 ・・・（※）
その実数解を (α[i]，β[i]) と書くことにします。（α[i]＞0） A[i]、B[i]、C[i]、D[i]を任意の実
数として、f(x)を次のように定義します。
x＞0 のとき、 f(x)=72 + Σ[i]{A[i]xα[i]cos(β[i]log(x)) + B[i]xα[i]sin(β[i]log(x))}
x=0 のとき、 f(x)=72
x＜0 のとき、 f(x)=72 + Σ[i]{C[i]|x|α[i]cos(β[i]log(|x|)) + D[i]|x|α[i]sin(β[i]log(|x|))}
すると、f(x)は実数値連続関数であり、任意の実数xに対して、Σk=1〜28 f(kx) = 2016 が成
り立ちます。
さて、残るは想定したこと（※）が本当に成り立つかどうかですが、私は証明できていません。
でも存在してそうだなとは思います。
たとえば、0.251592481411＜x＜0.251592481413、18.373692481900＜y＜18.373692481901
のあたりだとか、
0.600351542352＜x＜0.600351542353、27.621002618806＜y＜27.621002618808
のところだとか、
1.85528513348＜x＜1.85528513354、63.62329406207＜y＜63.62329406212
のあたりなどなど、解がありそうなところはいくつもあります。
なにかうまく証明できるでしょうか？中間値の定理のような感じでいけるのでしょうか？
Σk=1〜28 kxcos(ylog(k)) = 0 を満たす曲線とΣk=1〜28 kxsin(ylog(k)) = 0 を満たす曲線の交
点が求める点であり、実際に、x＞0の領域で交差することが言えればいいのかな。
わりとなんとなく話を進めたのでおかしなところがあったら言ってください。
ａｔ さんからのコメントです。（平成２８年１月１８日付け）
Σk=1〜28 kγ = 0 かつ Re[γ]＞0 となるような複素数γに対して、f(x)を次のように定義
すればいいんじゃないでしょうか。
x=0 のとき、f(x)=72 、x≠0 のとき、f(x)=72+Re[|x|γ]
このようにf(x)を定義すれば、f(x)は問題文の条件をすべて満たすような関数の一例になっ
ていると思います。
りらひいさんからのコメントです。（平成２８年１月１９日付け）
そうですね。私が示した例で、α[1]+β[1]i=γ となっているときに、
A[1]=C[1]=1 、B[1]=D[1]=0 、A[i]=B[i]=C[i]=D[i]=0 (i≧2)
とすれば、at さんのおっしゃるものと一致しますね。
一例と言っておきながら、さまざまな形になる式をひとまとめで示してしまったので、わかり
にくくなってしまいましたね。すみません。
以下、工事中！