当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「数々の和」さんからの出題です。
（平成２８年１月１日付け）
問題 （1） 2016は28で割り切れます。平成がずっと続くとして、次に西暦が平成で割り切れ
るのは何年後ですか。
（2） 2016＝○□○□○□○□○ 、28＝○□○□○□○
９個の○には1〜９の数字を１回ずつ、□には「＋」か「×」を入れてください。
(3) 電子版特別(難しくて優しい問題)
数列｛an｝の一般項は、nが1度しか出てこない式によって表されます。さらに、
a1=28、a2=2016、a3=130816がわかっています。anを求めてください。
（答） (1) 西暦2059年(平成71年)が該当するので、４３年後
(2) 2016＝１×４×７×８×９ 、28＝２×５＋３×６
DD++さんからのコメントです。（平成２８年１月４日付け）
(3) a[n] = 63406 (n-13445/9058)^2 -19209537/1294 が条件を満たす一例になりますね。
これが意図された解答という気は全くしませんが……。
らすかるさんからのコメントです。（平成２８年１月４日付け）
(3) a[n] = {(2・8^n-1)^2-1}/8 でどうでしょう。
（コメント） らすかるさんの求められた式は美しいですね！
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２８年１月４日付け）
３点(1,28)、(2,2016)、(3,130816)を通る２次関数を求めることで、
a[n]=124852-188230*n+63406*n^2
ではいけませんか？この式は、DD++さんの式を展開したものとと同一です！
そこで改めて
28=2^2*7 =2^2*3^0*7*73^0
2016=2^5*3^2*7 =2^5*3^2*7*73^0
130816=2^8*7*73=2^8*3^0*7*73^1
から作ると、 a[n]=2^(3*n-1)*3^(1+(-1)^n)*7*73^((2*n-3+(-1)^(n+1))/4)
「式中に使ってよいnは1回だけ」という条件には合致しませんが．．．。
DD++さんからのコメントです。（平成２８年１月４日付け）
なるほど、この数列は八進にすると、70/2，7700/2，777000/2， ……
という数列だったわけですね。
数々の和さんからメールでコメントをいただきました。（平成２８年１月６日付け）
DD++さんの解答には驚きましたが、一般に、(x，y)の組が3個あれば特殊な場合を除き、2
次関数を作ることができ、それを平方完成すれば、変数を1度しか使わない式ができるのは
当たり前で、そのことに思い至らずに出題したのは失敗でした。
A[0]=0という条件を付けるべきでした。DD++さん、お疲れ様でした。
らすかるさんの答えが、私が考えていた(以上の)解答でした。
28は完全数であり、したがって三角数です。2016＝32×63も三角数です。三角数は組み合
わせの数でもあり、28は8個から2個取る、2016は64=8＾2から2個取る組み合わせの数です。
したがって、両者ともに、8^nから2個取る数です。組み合わせの数を、C(*,**)と表せば、
a[n]=C(8^n,2)
と書けることになります。8^nの2次関数と考えて平方完成すれば、らすかるさんの答えが出
ます。この方が式らしいですね。
らすかるさん、ありがとうございました。
数々の和さんからのコメントです。（平成２９年１月１日付け）
昨年の答は、（１） ４３年後で、２０５９年(平成７１年)
（２） 2016＝1×4×7×8×9、28＝2×5＋3×6
（３） 電子版 an={(2×8n-1)2-1}/8
（お詫び） a0=0 が必要でした。これを書かなかったために複雑な別の解が存在しました。