当ＨＰがいつもお世話になっているＨＮ「ＧＡＩ」さんからの出題です。
（平成２７年５月１日付け）
Ｓ＝{1，5，11，13，17，29}として、{an}は次の条件(1)、(2)、(3)を満たす数列とする。
(1) a1∈S
(2) (an+1−１)/(an＋１)∈S
(3) １０以下のある正整数ｎに対して、an=2015
この様な条件を満たす数列 {an} において、和 a1＋a2＋a3＋･･･＋an (n≦10、an＝2015)
はいくつになることが出来るか？
（答） ＧＡＩ さんから補足です。（平成２７年５月３日付け）
この問題は、逆から辿るのがコツです。条件(2)も、各nに対してその都度Sの中の数字なら
どれになっても構いません。（固定しているわけではなく変化してよい。）ただし、数列はどれ
も正の整数にはなります。
出題の時、思わず29をSの中に書き入れたので、思った以上にいろいろな可能性が起きて
しまい、分類、分岐に骨が折れます。（反省）
DD++さんからのコメントです。（平成２７年５月３日付け）
計算ミスをしていない自信がないのですが、
6524,6528,6828,7272,7340,7364,8444,10176,10416,10428,14280,14396 の12種？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年５月３日付け）
6528は起こりえますかね？
もう一度やり直す気にはなれず……、の気分は十分に理解できます。枝分かれが多岐に
渡り、全体像を見るためにはかなり広い紙にアメーバの動きよろしく這い広がる過程を書い
ていかなければなりませんでした。
この根気と緻密さを要する作業をほとんど完璧になされたDD++さんに敬意を表します。も
し6528が構成可能ならこの系列を教えて下さい。（私が見落としたことになります。）
DD++さんからのコメントです。（平成２７年５月３日付け）
「1,3,5,79,401,2011,2013,2015」で6528になりませんか？
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年５月３日付け）
ワォ！ これもOKですよね。5に辿り着いたのでここで安心してしまっていました。さらに続
けば10以内で1まで行くことができる。私はこのルートを見落としていました。
らすかるさんからのコメントです。（平成２７年５月３日付け）
適当にプログラムを作ったら、
1+3+5+79+401+2011+2013+2015=6528
1+3+117+2007+2009+2011+2013+2015=10176
1+35+181+2003+2005+2007+2009+2011+2013+2015=14280
1+35+397+399+401+2011+2013+2015=7272
5+31+33+35+397+399+401+2011+2013+2015=7340
5+79+401+2011+2013+2015=6524
13+71+73+75+77+79+401+2011+2013+2015=6828
29+31+33+35+397+399+401+2011+2013+2015=7364
29+151+153+2003+2005+2007+2009+2011+2013+2015=14396
29+391+393+395+397+399+401+2011+2013+2015=8444
となりました。もしプログラムが合っていれば、「10416」と「10428」は出来ないことになります
が…。
DD++さんからのコメントです。（平成２７年５月３日付け）
らすかるさんがこの程度のプログラミングで間違えるとは思えないので、多分これらも私が
計算をミスったんだと思います。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年５月３日付け）
1+15+113+115+117+2007+2009+2011+2013+2015=10416
a[1]=1
a[2]=7*(a[1]+1)+1=15
a[3]=7*(a[2]+1)+1=113
a[4]=1*(a[3]+1)+1=115
a[5]=1*(a[4]+1)+1=117
a[6]=17*(a[5]+1)+1=2007
a[7]=1*(a[6]+1)+1=2009
a[8]=1*(a[7]+1)+1=2011
a[9]=1*(a[8]+1)+1=2013
a[10]=1*(a[9]+1)+1=2015
13+15+113+115+117+2007+2009+2011+2013+2015=10428
a[1]=13
a[2]=1*{a[1]+1)+1=15
a[3]=7*(a[2]+1)+1=113
a[4]=1*(a[3]+1)+1=115
a[5]=1*(a[4]+1)+1=117
a[6]=17*(a[5]+1)+1=2007
a[7]=1*(a[6]+1)+1=2009
a[8]=1*(a[7]+1)+1=2011
a[9]=1*(a[8]+1)+1=2013
a[10]=1*(a[9]+1)+1=2015
で作れませんか？
らすかるさんからのコメントです。（平成２７年５月３日付け）
Sに7は含まれていませんので、7倍は出来ないと思いますが…。
ＧＡＩ さんからのコメントです。（平成２７年５月３日付け）
あれ〜 Sに7はてっきり入れて出題したつもりでした。見直したら7が抜いていました。この
２つだけが7を使用するものになってしまいますね。調査したものは全て7を加えてやっていた
ので、この２つを入れてしまいました。投稿前に一度確認することを心がけることにします。
（コメント） この問題は逆算でやるのがコツでしたね！後で気がつきました。
２０１５−１＝２０１４を素因数分解すると、 ２０１４＝２・１９・５３
Ｓ＝{1，5，11，13，17，29}なので、(an+1−１)/(an＋１)∈Sとなる可能性は、
２０１５−１＝１・（２０１３＋１）
２０１３−１＝２０１２を素因数分解すると、 ２０１２＝２2・５０３
よって、可能性は、 ２０１３−１＝１・（２０１１＋１）
２０１１−１＝２０１０を素因数分解すると、 ２０１０＝２・３・５・６７
よって、可能性は、 ２０１１−１＝１・（２００９＋１） 、２０１１−１＝５・（４０１＋１）
２００９−１＝２００８を素因数分解すると、 ２００８＝２3・２５１
４０１−１＝４００を素因数分解すると、 ４００＝２4・５2
・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
と計算していけば、全ての場合に到達できるだろう。