ｔａｎ１°は有理数か？ （出典：平成１８年度 京都大学 後期）
（答） ｔａｎ１°が有理数と仮定すると、 ｔａｎ２θ＝２ｔａｎθ/（１−ｔａｎ2θ） から、
ｔａｎ２°、ｔａｎ４°、ｔａｎ８°、ｔａｎ１６°、ｔａｎ３２°、・・・ も有理数
このとき、 ｔａｎ３０°＝ｔａｎ（３２°−２°）＝（ｔａｎ３２°−ｔａｎ２°）/（１＋ｔａｎ３２°ｔａｎ２°）
も有理数となる。しかるに、ｔａｎ３０°＝１/
は無理数で、これは矛盾である。よって、ｔａｎ１°は無理数である。
（コメント） 直感的には無理数と分かっていても、いざ問われてしまうとちょっと説得するの
に考えてしまいますね。２倍角の公式が巧妙ですね！